Calcule a área do círculo x^{2}+y^{2} \leqslant 9 usando coordenadas polares.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área do círculo dado por x^{2}+y^{2}\leqslant 9 e exige que a gente use coordenadas polares.
Informações fornecidas: o conjunto é o disco centrado na origem com raio 3, porque a desigualdade x^{2}+y^{2}\leqslant 9 é equivalente a dizer que a distância ao polo (origem) é menor ou igual a 3. Não há outras restrições.

Passo 2

Vamos descrever pontos do plano em coordenadas polares. Em coordenadas polares usamos duas variáveis: r (a distância do ponto à origem) e \theta (o ângulo medido a partir do eixo x positivo). A relação entre retangulares e polares é
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\geqslant 0 e \theta varia tipicamente em [0,2\pi). Aqui, como o disco é todo ao redor da origem, teremos r variando de 0 até 3 e \theta variando de 0 até 2\pi.

Passo 3

Precisamos saber qual é o elemento de área em coordenadas polares. Em coordenadas cartesianas o elemento de área é dA = dx\,dy. Em coordenadas polares, um pequeno retângulo no sistema (r,\theta) tem lados aproximadamente dr (radial) e r\,d\theta (arco na direção angular), logo a área desse pequeno elemento é aproximadamente r\,dr\,d\theta. Portanto o jacobiano da transformação é r e
dA = r\,dr\,d\theta.
Essa é uma observação geométrica intuitiva: ao aumentar \theta de d\theta a uma distância r do centro, o comprimento do arco é r\,d\theta.

Passo 4

Agora escrevemos a integral dupla que calcula a área do disco. A área de uma região D é a integral dupla de 1 sobre D. Em coordenadas polares isso fica:
\text{Área} = \iint_{D} 1\,dA = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{3} 1\cdot r\,dr\,d\theta.Á
Observe que os limites foram fixados conforme o Passo 2: r\in[0,3] e \theta\in[0,2\pi].

Passo 5

Calculemos a integral interna em r:
\int_{r=0}^{3} r\,dr.
Usamos a antiderivada de r, que é \tfrac{1}{2}r^{2}. Avaliando entre 0 e 3 temos
\int_{0}^{3} r\,dr = \left.\tfrac{1}{2}r^{2}\right|_{0}^{3} = \tfrac{1}{2}\cdot 3^{2} - \tfrac{1}{2}\cdot 0^{2} = \tfrac{9}{2}.
Explicando devagar: para integrar r somamos 1 ao expoente (vai para r^{2}) e dividimos pelo novo expoente (2), daí \tfrac{1}{2}r^{2}.

Passo 6

Agora integramos em \theta usando o resultado do passo anterior:
\text{Área} = \int_{0}^{2\pi} \left(\tfrac{9}{2}\right) d\theta = \tfrac{9}{2}\cdot \left.\theta\right|_{0}^{2\pi} = \tfrac{9}{2}\cdot 2\pi = 9\pi.Á
Aqui tratamos \tfrac{9}{2} como constante em relação a \theta.

Passo 7

Como verificação rápida: a fórmula conhecida da área de um círculo de raio R é \pi R^{2}. Colocando R=3 obtemos \pi\cdot 3^{2}=\pi\cdot 9=9\pi, que coincide com o resultado obtido pela integral. Isso confirma que não cometemos erro.

Resposta

9\pi

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