\int_{0}^{\pi / 2} \int_{0}^{2} r^{3} \cos (\theta) d r d \theta
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{0}^{\pi / 2} \int_{0}^{2} r^{3} \cos(\theta)\, d r\, d \theta.
Informações dadas:
\text{limites em } r: 0 \text{ a } 2,\qquad \text{limites em } \theta: 0 \text{ a } \tfrac{\pi}{2},
e o integrando é r^{3}\cos(\theta). A tarefa é avaliar esse valor numérico.
Passo 2
Observação sobre a ordem de integração e separação de variáveis: dentro da integral interna (a que integra em r) a variável \theta é fixa, então \cos(\theta) funciona como constante em relação a r. Quando o integrando é produto de uma função só de r por outra só de \theta, podemos, na prática, separar a integração ou simplesmente tratar a parte em \theta como constante ao integrar em r. Formalmente, para funções contínuas vale
Conclusão: a integral dupla vale 4. Mandando um incentivo: boa — essa foi tranquila, é só aplicar a regra do fator constante e a regra do poder para polinômios.