Calcule a integral:
\int_{0}^{\pi / 2} \int_{0}^{2} r^{3} \cos (\theta) d r d \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{0}^{\pi / 2} \int_{0}^{2} r^{3} \cos(\theta)\, d r\, d \theta.
Informações dadas:
\text{limites em } r: 0 \text{ a } 2,\qquad \text{limites em } \theta: 0 \text{ a } \tfrac{\pi}{2},
e o integrando é r^{3}\cos(\theta). A tarefa é avaliar esse valor numérico.

Passo 2

Observação sobre a ordem de integração e separação de variáveis: dentro da integral interna (a que integra em r) a variável \theta é fixa, então \cos(\theta) funciona como constante em relação a r. Quando o integrando é produto de uma função só de r por outra só de \theta, podemos, na prática, separar a integração ou simplesmente tratar a parte em \theta como constante ao integrar em r. Formalmente, para funções contínuas vale
\int_{a}^{b}\int_{c}^{d} f(r)\,g(\theta)\,dr\,d\theta = \int_{a}^{b} g(\theta)\left(\int_{c}^{d} f(r)\,dr\right)d\theta.
Aqui f(r)=r^{3} e g(\theta)=\cos(\theta). Vou primeiro calcular a integral interna em r.

Passo 3

Cálculo da integral interna \displaystyle \int_{0}^{2} r^{3}\,dr.
Regra usada: para n\neq -1,
\int r^{n}\,dr = \frac{r^{n+1}}{n+1} + C.
Aplicando com n=3:
\int_{0}^{2} r^{3}\,dr = \left.\frac{r^{4}}{4}\right|_{0}^{2} = \frac{2^{4}}{4}-\frac{0^{4}}{4} = \frac{16}{4}=4.

Passo 4

Substituindo o resultado da integral interna na integral externa:
\int_{0}^{\pi/2} \left(\int_{0}^{2} r^{3}\,dr\right)\cos(\theta)\,d\theta = \int_{0}^{\pi/2} 4\cos(\theta)\,d\theta.
Regra usada: fator constante pode sair da integral. Agora integramos \cos(\theta): uma primitiva é \sin(\theta). Então
\int_{0}^{\pi/2} 4\cos(\theta)\,d\theta = 4\left.\sin(\theta)\right|_{0}^{\pi/2} = 4\big(\sin(\tfrac{\pi}{2})-\sin(0)\big) = 4(1-0)=4.

Passo 5

Conclusão: a integral dupla vale 4. Mandando um incentivo: boa — essa foi tranquila, é só aplicar a regra do fator constante e a regra do poder para polinômios.

Resposta

4

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