Uma placa tem densidade \rho(x, y)=x^{2}+y^{2} sobre o círculo x^{2}+y^{2} \leqslant 4. Monte a integral que fornece sua massa em coordenadas polares.
Passo 1
O enunciado dá a densidade da placa e a região onde ela está apoiada, e pede que a massa seja expressa em coordenadas polares. Informações importantes: \rho(x,y)=x^{2}+y^{2}.
A região é o disco \;x^{2}+y^{2}\leqslant 4.
O que se pede: montar a integral dupla em coordenadas polares que calcula a massa da placa (ou seja, a integral de \rho sobre o disco, usando coordenadas polares).
Passo 2
Vamos lembrar o que são coordenadas polares e por que as usamos aqui. Em coordenadas polares representamos um ponto (x,y) por um par (r,\theta) onde:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
Aqui r\ge 0 é a distância do ponto à origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x.
Quando trocamos de coordenadas, o elemento de área dA em (x,y) não é simplesmente dr\,d\theta: ele recebe um fator chamado jacobiano. Para coordenadas polares o jacobiano é r, e portanto
dA = r\,dr\,d\theta.
Intuição rápida (sem formalismo pesado): um pequeno retângulo em (r,\theta) com lados \Delta r e \Delta \theta corresponde a uma pequena “fatia” cuja área é aproximadamente r\,\Delta r\,\Delta\theta.
Passo 3
Agora transformamos a densidade \rho para polares. Como \;x^{2}+y^{2}=r^{2}, temos
\rho(x,y)=x^{2}+y^{2}=r^{2}.
Ou seja, a densidade em coordenadas polares é \;r^{2}.
Passo 4
Determinar os limites da região em polares. A condição do disco é
Como o disco é inteiro em torno da origem, o ângulo percorre todo o círculo:
0\le \theta \le 2\pi.
Passo 5
Montamos a integral da massa. A massa m é a integral dupla da densidade sobre a região, e em coordenadas polares isso vira a integral da função \rho(r,\theta) multiplicada por r (o jacobiano), com os limites encontrados. Substituindo \rho=r^{2} e dA=r\,dr\,d\theta, o integrando fica r^{2}\cdot r = r^{3}. Assim a integral é
m=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} r^{3}\,dr\,d\theta.
Passo 6
Se quiser também calcular o valor numérico da massa (não pedido explicitamente, mas útil): primeiro integramos em r,