Calcule a área do conjunto dado.
Passo 1
A questão pede a área do conjunto A={ (x,y)∈ℝ² ∣ 0≤x≤2 e 0≤y≤x/(1+x²) }. Isso é conteúdo de cálculo de integrais definidas, pois queremos a área sob a curva y=x/(1+x²) entre x=0 e x=2.
Passo 2
Para encontrar a área, lembramos que ela é dada pela integral definida do valor de y em função de x. Assim,
Passo 3
Precisamos agora calcular essa integral. Note que a derivada de (1+x²) é 2x, logo podemos usar a substituição u=1+x², du=2x dx, ou seja, x dx=du/2.
Passo 4
Aplicando a substituição, quando x=0 temos u=1 e quando x=2 temos u=1+2²=5. A integral vira
Passo 5
Integramos 1/u e obtemos ln|u|. Fazendo a avaliação de 1 a 5,
Passo 6
Como ln 1=0, sobra