Calcule a área do conjunto dado.
A=(x, y) in R^2 lvert, 0 <= x <= 2 e 0 <= y <= x1+x^2

Passo 1

A questão pede a área do conjunto A={ (x,y)∈ℝ² ∣ 0≤x≤2 e 0≤y≤x/(1+x²) }. Isso é conteúdo de cálculo de integrais definidas, pois queremos a área sob a curva y=x/(1+x²) entre x=0 e x=2.

Passo 2

Para encontrar a área, lembramos que ela é dada pela integral definida do valor de y em função de x. Assim,
A=integral0^2x1+x^2,dx

Passo 3

Precisamos agora calcular essa integral. Note que a derivada de (1+x²) é 2x, logo podemos usar a substituição u=1+x², du=2x dx, ou seja, x dx=du/2.

Passo 4

Aplicando a substituição, quando x=0 temos u=1 e quando x=2 temos u=1+2²=5. A integral vira
A=integral0^2x1+x^2,dx=integralu=1^5121u,du=12integral1^51u,du

Passo 5

Integramos 1/u e obtemos ln|u|. Fazendo a avaliação de 1 a 5,
A=12l[ln(u)r]1^5=12l(ln5-ln1r)

Passo 6

Como ln 1=0, sobra
A=12ln5

Resposta

A=tfrac12ln5

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