Calcule a integral:
integral1^3 25+3 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de 1 a 3 da função f(x)=25+3x. Isso envolve integração de função racional simples usando substituição.

Passo 2

Para simplificar a integral, usamos a substituição u=5+3x. Assim, ao derivar, temos du=3,dx, portanto dx=tfracdu3. Precisamos também mudar os limites de integração para a nova variável. Quando x=1, u=5+3cdot1=8. Quando x=3, u=5+3cdot3=14.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u:
integral1^325+3x,dx =integralu=8^u=142ucdotdu3 =23integral8^141u,du

Passo 4

A integral de 1/u é ln|u|. Logo, a primitiva é 23ln|u|. Agora, avaliamos de u=8 a u=14:
23l[ln|u|r]8^14 =23(ln14-ln8) =23lnl(tfrac148r) =23lnl(tfrac74r)

Resposta

23ln74

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