A meia-vida do elemento rádio 226 é de 1602 anos. Determine o tempo necessário para que uma amostra deste elemento tenha sua massa reduzida a 3 / 4 do original.

Passo 1

A questão informa que a meia‐vida do rádio-226 é de 1602 anos e pede o tempo necessário para a massa cair a 3/4 da original. O conteúdo envolvido é decaimento radioativo, que segue um modelo exponencial. Vamos usar a fórmula do decaimento baseada na meia‐vida.

Passo 2

O modelo geral de decaimento radioativo é dado por:
m(t)=m0l(tfrac12r)^t/T1/2
onde m0 é a massa inicial, T1/2=1602 anos é a meia‐vida e m(t) é a massa após tempo t.

Passo 3

Aplicamos a condição de redução a 3/4 da massa original, ou seja, m(t)=tfrac34,m0. Substituindo na equação:
tfrac34,m0 = m0l(tfrac12r)^t/1602
Cancelamos m0 e isolamos a potência:
l(tfrac12r)^t/1602 = tfrac34.

Passo 4

Para encontrar t, aplicamos logaritmo natural em ambos os lados:
t1602,lnl(tfrac12r)=lnl(tfrac34r)
Logo,
t = 1602,ln(3/4)ln(1/2)

Passo 5

Basta calcular numericamente:
ln(3/4)approx -0,28768, ln(1/2)approx -0,69315
tapprox 1602times-0,28768-0,69315approx 663,2 anos

Resposta

tapprox 663,2 anos

Exercícios relacionados