Calcule a área do conjunto dado
A=(x, y) in R^2: 1 <= x <= 2 e 0 <= y <= x1+x^2

Passo 1

O enunciado pede a área do conjunto A = { (x,y)∈ℝ² : 1≤x≤2 e 0≤y≤x/(1+x²) }. O conteúdo aqui é cálculo de área por integral dupla, precisaremos usar integração iterada e técnica de substituição.

Passo 2

Para obter a área, montamos a integral dupla sobre A: integral em x de 1 a 2 e em y de 0 a x/(1+x²). Ou seja,
Área(A)=integralx=1^2integraly=0^x1+x^2dy,dxÁ

Passo 3

Ao integrar primeiro em y, temos: integraly=0^x1+x^2dy=x1+x^2 Logo a área vira uma integral simples em x:
Área(A)=integral1^2x1+x^2,dxÁ

Passo 4

Para calcular integralx1+x^2dx, fazemos a substituição u=1+x^2, du=2x,dx. Assim
integralx1+x^2dx=12integralduu=12ln|u|+C=12ln(1+x^2)+C

Passo 5

Agora avaliamos nos limites de 1 a 2:
Área(A)=[tfrac12ln(1+x^2)]1^2=tfrac12l(ln5-ln2r)=tfrac12ln!(tfrac52)Á

Resposta

12ln!(52)

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