(Simmons, p. 62, exer. 3(a)) Encontre a solução geral da equação de Bernoulli
x y^prime+y=x^4 y^3
Resposta: 1 / y^2=-x^4+c x^2.

Passo 1

Temos a equação x,y' + y = x^4 y^3, que é uma equação de Bernoulli do tipo y' + P(x),y = Q(x),y^n com n=3. Para resolver, primeiro vamos colocá-la na forma padrão dividindo por x.

Passo 2

Dividindo ambos os lados por x, obtemos a forma padrão
y' + 1xy = x^3 y^3
onde P(x)=1/x e Q(x)=x^3.

Passo 3

Na equação de Bernoulli, fazemos a substituição u = y^1-n = y^-2. Essa transformação converte a equação numa equação linear em u.

Passo 4

Para relacionar u e y, calculamos
u = y^-2, dudx = -2y^-3y'
Isolando y' em função de u' e substituindo na equação dividida por x, chegamos a
-tfrac12,u' + 1xu = x^3
Multiplicando por -2, isso vira
u' - 2xu = -2x^3

Passo 5

Essa é uma equação linear em u. Identificamos p(x)=-2/x e q(x)=-2x^3. O fator integrante é
mu(x) = e^integral p(x),dx = e^-2ln|x| = x^-2
Multiplicando a equação por x^-2, o lado esquerdo fica
ddx(x^-2u) = -2x

Passo 6

Integramos ambos os lados:
x^-2u = integral -2x,dx = -x^2 + C
Logo
u = -x^4 + Cx^2
Voltando a y com u=y^-2, temos a solução geral.

Resposta

1/y^2 = -x^4 + Cx^2

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