Calcule
integral0^1 x e^2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de 0 a 1 de x e^2x d x. É um problema de Integração Definida que vamos resolver usando o método de Integração por Partes, baseado na fórmula integral u,dv = u v - integral v,du.

Passo 2

Escolhemos as funções para aplicar o método: u = x (que simplifica ao derivar) e dv = e^2x,dx. Derivando e integrando, obtemos:
du = dx
v = integral e^2x,dx = e^2x2

Passo 3

Substituindo na fórmula de Partes, a integral indefinida fica:
integral x e^2x,dx = x cdot e^2x2 - integral e^2x2,dx

Passo 4

Agora calculamos a integral restante:
integral tfrace^2x2,dx = tfrac12 integral e^2x,dx = tfrac12 cdot tfrace^2x2 = tfrace^2x4
Logo, uma primitiva é:
F(x) = x e^2x2 - e^2x4 + C

Passo 5

Para a integral definida, avaliamos F(1) - F(0):
  • Para x=1: F(1) = 1cdot e^22 - e^24 = e^24
  • Para x=0: F(0) = 0cdot e^02 - e^04 = -14
Portanto,
integral0^1 x e^2x,dx = e^24 - l(-14r) = e^2 + 14

Resposta

e^2 + 14

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