Calcule a área do conjunto
Passo 1
O enunciado pede a área da região A definida por x³ < y < x, ou seja, a região entre as curvas y = x³ e y = x. O conteúdo aqui é área entre curvas, e vamos precisar achar os pontos de interseção das duas funções e depois integrar a diferença entre a curva de cima e a de baixo.
Passo 2
Para encontrar onde as duas curvas se encontram, resolvemos x³ = x.
Resolvendo x³ – x = 0 obtemos x(x² – 1) = 0, logo as soluções são x = –1, 0 e 1. Isso nos dá os pontos de interseção (–1,–1), (0,0) e (1,1).
Resolvendo x³ – x = 0 obtemos x(x² – 1) = 0, logo as soluções são x = –1, 0 e 1. Isso nos dá os pontos de interseção (–1,–1), (0,0) e (1,1).
Passo 3
Precisamos agora ver em que intervalo a desigualdade x³ < x vale de forma que a curva y = x fique acima de y = x³ em um trecho fechado. Fazendo um estudo de sinais de x³ – x, concluímos que x³ < x apenas em (0,1) (em x < –1 a região não é limitada verticalmente e dá área infinita; em –1 < x < 0 dá x³ > x). Assim, o pedaço finito e fechado está entre x = 0 e x = 1.
Passo 4
Para calcular a área entre duas curvas f(x) e g(x) no intervalo [a,b], usamos a fórmula
Aqui f(x)=x (curva de cima) e g(x)=x³ (curva de baixo), em a=0, b=1.
Então montamos a integral:
Calculando:
Portanto