Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir qual é o maior conjunto onde a função $ f(x, y) $ é contínua. A função que a gente tem é definida de duas formas diferentes:
- Para qualquer ponto
que não seja , a função é . - No ponto
, a função assume o valor 2.
A gente vai precisar entender o que é continuidade de função em várias variáveis e como verificar se a função é contínua em todos os pontos ou se tem algum ponto problemático.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em um ponto se o limite da função, quando nos aproximamos desse ponto, é igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja, não tem “saltos” ou “buracos”.
Passo 3
Vamos analisar a função $ f(x, y) $ fora do ponto
. Para qualquer
, a função é
. Aqui, o denominador
nunca é zero, porque estamos excluindo o ponto
. Como não tem divisão por zero, essa parte da função é contínua em todo lugar fora de
.
Passo 4
Agora, o ponto que pode dar problema é
. Precisamos verificar se a função é contínua nesse ponto. Para isso, vamos calcular o limite de $ f(x, y) $ quando
se aproxima de
e ver se esse limite é igual a 2, que é o valor da função nesse ponto.
Passo 5
Vamos calcular o limite da função
quando
se aproxima de
. Uma maneira de fazer isso é usar coordenadas polares, onde
e
. Substituindo na função:
Passo 6
Percebemos que o resultado depende do ângulo
. Isso significa que o limite da função
quando
se aproxima de
pode ser diferente dependendo do caminho que a gente escolhe para se aproximar. Por exemplo:
- Se a gente se aproxima ao longo do eixo
( ), o limite é 1. - Se a gente se aproxima ao longo do eixo
( ), o limite é -1.
Como os limites são diferentes, o limite geral não existe.
Passo 7
Como o limite da função quando
se aproxima de
não existe, isso significa que a função não é contínua nesse ponto. E já que a função é contínua em todos os outros pontos, o maior conjunto onde $ f(x, y) $ é contínua é todo o plano menos o ponto
.
Resposta
O maior conjunto onde a função $ f(x, y) $ é contínua é
exceto o ponto
. Ou seja, $ f $ é contínua para todos
.