Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir qual é o maior conjunto onde a função $ f(x, y) $ é contínua. A função que a gente tem é definida de duas formas diferentes:
  • Para qualquer ponto f(x, y) que não seja (x, y), a função é (0,0).
  • No ponto x^2 - y^2x^2 + y^2, a função assume o valor 2.
A gente vai precisar entender o que é continuidade de função em várias variáveis e como verificar se a função é contínua em todos os pontos ou se tem algum ponto problemático.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em um ponto se o limite da função, quando nos aproximamos desse ponto, é igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja, não tem “saltos” ou “buracos”.

Passo 3

Vamos analisar a função $ f(x, y) $ fora do ponto f(x, y) . Para qualquer (0,0), a função é (x, y) neq (0,0). Aqui, o denominador x^2 - y^2x^2 + y^2 nunca é zero, porque estamos excluindo o ponto x^2 + y^2. Como não tem divisão por zero, essa parte da função é contínua em todo lugar fora de (0,0).

Passo 4

Agora, o ponto que pode dar problema é (0,0). Precisamos verificar se a função é contínua nesse ponto. Para isso, vamos calcular o limite de $ f(x, y) $ quando f(x, y) se aproxima de (x, y) e ver se esse limite é igual a 2, que é o valor da função nesse ponto.

Passo 5

Vamos calcular o limite da função x^2 - y^2x^2 + y^2 quando (x, y) se aproxima de (0,0). Uma maneira de fazer isso é usar coordenadas polares, onde x = r cos(theta) e y = r sin(theta). Substituindo na função:
(r cos(theta))^2 - (r sin(theta))^2(r cos(theta))^2 + (r sin(theta))^2 = r^2 (cos^2(theta) - sin^2(theta))r^2 (cos^2(theta) + sin^2(theta)) = cos^2(theta) - sin^2(theta)

Passo 6

Percebemos que o resultado depende do ângulo theta. Isso significa que o limite da função x^2 - y^2x^2 + y^2 quando (x, y) se aproxima de (0,0) pode ser diferente dependendo do caminho que a gente escolhe para se aproximar. Por exemplo:
  • Se a gente se aproxima ao longo do eixo x ( theta = 0), o limite é 1.
  • Se a gente se aproxima ao longo do eixo y ( theta = pi2), o limite é -1.
Como os limites são diferentes, o limite geral não existe.

Passo 7

Como o limite da função quando (x, y) se aproxima de (0,0) não existe, isso significa que a função não é contínua nesse ponto. E já que a função é contínua em todos os outros pontos, o maior conjunto onde $ f(x, y) $ é contínua é todo o plano menos o ponto f(x, y) .

Resposta

O maior conjunto onde a função $ f(x, y) $ é contínua é f(x, y) exceto o ponto R^2. Ou seja, $ f $ é contínua para todos (0, 0).

Exercícios relacionados