Questão 2. As funções de Bessel estão relacionadas com as soluções das chamadas equaçães de Bessel de índive p :
x^2 y^prime prime+x y^prime+(x^2-p^2) y=0
para um número real p. As equações de Bessel têm diversas aplicações na engenharia elétrica, incluindo: Análise de linhas de transmissão; Projeto de antenas; Filtragem de sinais; Propagação de ondas eletromagnéticas; Transformadores; Sistemas de comunicação óptica; Análise de campos eletromagnéticos; Projeto de motores e geradores; Análise de sistemas de energia; Simulação de
sistemas elétricos; etc.
Determine o domínio das funções de Bessel primeira espécie para p=0 e p=1 :
J0(x)=sumn=0^infty(-1)^n x^2 n2^2 n(n!)^2 e J1(x)=sumn=0^infty(-1)^n x^2 n+12^2 n+1 n!(n+1)!

Passo 1

O enunciado define as funções de Bessel de primeira espécie para p=0 e p=1 pelas séries de potências
J₀(x)=∑ₙ₌₀^∞(−1)ⁿ x{2n}/(2{2n}(n!)²) e
J₁(x)=∑ₙ₌₀^∞(−1)ⁿ x{2n+1}/(2{2n+1}n!(n+1)!)
Queremos determinar para quais valores reais de x essas séries convergem, ou seja, o domínio de definição. Para isso, vamos usar o teste da razão para séries de potências e obter o raio de convergência.

Passo 2

Para J₀(x), considere o termo geral aₙ = (−1)ⁿ x{2n}/(2{2n}(n!)²). Aplicando o teste da razão:
L = limntoinfty |an+1an| = limntoinfty |x|^24(n+1)^2 = 0
Como L=0<1 para todo x∈ℝ, a série converge absolutamente para qualquer x real. Portanto o raio de convergência é infinito.

Passo 3

Para J₁(x), tome bₙ = (−1)ⁿ x{2n+1}/(2{2n+1}n!(n+1)!). O teste da razão dá
L = limntoinfty |bn+1bn| = limntoinfty |x|^24(n+2)(n+1) = 0
De novo L=0<1 para todo x real, logo a série converge absolutamente para todo x∈ℝ e o raio de convergência é infinito.

Passo 4

Como ambas as séries têm raio de convergência infinito, as funções J₀(x) e J₁(x) estão bem definidas para todo x∈ℝ. Além disso, por extensão analítica, elas são funções inteiras definidas até em x∈ℂ.

Resposta

O domínio de J₀(x) e J₁(x) é todo o conjunto dos números reais, ou seja, x∈(−∞,+∞).

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