Questão 2. As funções de Bessel estão relacionadas com as soluções das chamadas equaçães de Bessel de índive
:
para um número real
. As equações de Bessel têm diversas aplicações na engenharia elétrica, incluindo: Análise de linhas de transmissão; Projeto de antenas; Filtragem de sinais; Propagação de ondas eletromagnéticas; Transformadores; Sistemas de comunicação óptica; Análise de campos eletromagnéticos; Projeto de motores e geradores; Análise de sistemas de energia; Simulação de
sistemas elétricos; etc.
Determine o domínio das funções de Bessel primeira espécie para
e
:
sistemas elétricos; etc.
Determine o domínio das funções de Bessel primeira espécie para
Passo 1
O enunciado define as funções de Bessel de primeira espécie para p=0 e p=1 pelas séries de potências
J₀(x)=∑ₙ₌₀^∞(−1)ⁿ x{2n}/(2{2n}(n!)²) e
J₁(x)=∑ₙ₌₀^∞(−1)ⁿ x{2n+1}/(2{2n+1}n!(n+1)!)
Queremos determinar para quais valores reais de x essas séries convergem, ou seja, o domínio de definição. Para isso, vamos usar o teste da razão para séries de potências e obter o raio de convergência.
J₀(x)=∑ₙ₌₀^∞(−1)ⁿ x{2n}/(2{2n}(n!)²) e
J₁(x)=∑ₙ₌₀^∞(−1)ⁿ x{2n+1}/(2{2n+1}n!(n+1)!)
Queremos determinar para quais valores reais de x essas séries convergem, ou seja, o domínio de definição. Para isso, vamos usar o teste da razão para séries de potências e obter o raio de convergência.
Passo 2
Para J₀(x), considere o termo geral aₙ = (−1)ⁿ x{2n}/(2{2n}(n!)²). Aplicando o teste da razão:
Como L=0<1 para todo x∈ℝ, a série converge absolutamente para qualquer x real. Portanto o raio de convergência é infinito.
Passo 3
Para J₁(x), tome bₙ = (−1)ⁿ x{2n+1}/(2{2n+1}n!(n+1)!). O teste da razão dá
De novo L=0<1 para todo x real, logo a série converge absolutamente para todo x∈ℝ e o raio de convergência é infinito.
Passo 4
Como ambas as séries têm raio de convergência infinito, as funções J₀(x) e J₁(x) estão bem definidas para todo x∈ℝ. Além disso, por extensão analítica, elas são funções inteiras definidas até em x∈ℂ.
Resposta
O domínio de J₀(x) e J₁(x) é todo o conjunto dos números reais, ou seja, x∈(−∞,+∞).