Questão 3. Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
f(x)=\frac{5}{1-2 x^{4}}

Passo 1

O enunciado pede para achar a série de potências de f(x)=51-2x^4 e determinar onde ela converge. Vamos usar a fórmula da série geométrica para isso.

Passo 2

Lembrando da série geométrica: para |u|<1 vale
11-u=sumn=0^infty u^n

Passo 3

Aqui identificamos u=2x^4. Substituindo na fórmula, temos
f(x)=51-2x^4=5sumn=0^infty(2x^4)^n

Passo 4

Podemos reescrever a série de forma mais direta em potências de x:
f(x)=sumn=0^infty5cdot2^n,x^4n

Passo 5

Para a convergência precisamos de |u|<1, isto é:
|2x^4|<1Longrightarrow|x|<(tfrac12)^1/4=2^-1/4

Resposta

f(x)=sumn=0^infty5cdot2^n,x^4n,com convergência para |x|<2^-1/4 ê

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