Resolva A EDO
l 2 y(1+x^2) d yd x-2 x y^21+2 x^2=1+2 x^2 2 y(1+x^2) d yd x-2 x y^21+2 x^2-1+2 x^2=0 2 y(1+x^2) d x-(2 x y^21+2 x^2+(1+2 x^2)) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
2,y,(1+x^2)dydx-2x,y^21+2x^2=1+2x^2,
que nota-se não é linear em y mas pode ser “linearizada” definindo
u=y^2,
pois então
dudx=2,ydydx

Passo 2

Usando dudx=2y,dydx, a equação fica
(1+x^2)dudx =2x,y^21+2x^2+(1+2x^2) =2x,u1+2x^2+1+2x^2

Passo 3

Colocamos em forma padrão de EDO linear para u:
dudx -2x(1+x^2)(1+2x^2),u =1+2x^21+x^2

Passo 4

O fator integrante é
mu(x)=exp!l(integral -2x(1+x^2)(1+2x^2),dxr)
Fazendo frações parciais em
2x(1+x^2)(1+2x^2) =-2x1+x^2+4x1+2x^2,
temos
integral -2x(1+x^2)(1+2x^2),dx =integrall(2x1+x^2-4x1+2x^2r),dx =ln(1+x^2)-ln(1+2x^2),
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mu(x)=1+x^21+2x^2

Passo 5

Multiplicando a EDO linear por mu(x) obtemos
ddxl(mu(x),ur) =mu(x),1+2x^21+x^2 =1
Integrando,
mu(x),u=x+C Longrightarrow 1+x^21+2x^2,u=x+C

Passo 6

Voltando a y, temos u=y^2, então
y^2 =1+2x^21+x^2,(x+C)

Resposta

boxedy^2=(1+2x^2)(x+C)1+x^2,
onde C é constante de integração.

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