Calcule a área entre as curvas
e
e limita nas laterais por
e
. Faça os gráficos da funções e marque a região.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a área da região limitada pelas curvas f(x)=x e g(x)=e^{x}, nas laterais x=0 e x=1. Este é um problema de área entre curvas, que resolvemos usando integral definida da diferença entre a função superior e a inferior.
Passo 2
Para visualizar, vamos esboçar as duas curvas no plano cartesiano:
– A reta f(x)=x vai de (0,0) a (1,1).
– A exponencial g(x)=e^{x} passa em (0,1) e (1,e), crescendo mais rápido.
Sombreie a região entre as duas curvas para 0≤x≤1.
– A reta f(x)=x vai de (0,0) a (1,1).
– A exponencial g(x)=e^{x} passa em (0,1) e (1,e), crescendo mais rápido.
Sombreie a região entre as duas curvas para 0≤x≤1.
Passo 3
Precisamos saber qual função está acima no intervalo. Como em x=0 temos e^{0}=1>x=0 e em x=1 temos e^{1}=e>1, concluímos que g(x)=e^{x} está sempre acima de f(x)=x em [0,1].
Passo 4
Montamos a integral da diferença g(x)−f(x) de x=0 até x=1:
Passo 5
Calculando a integral:
Logo,
Resposta
e-\tfrac{3}{2}