Calcule a área entre as curvas f(x)=x e g(x)=e^x e limita nas laterais por x=0 e x=1. Faça os gráficos da funções e marque a região.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área da região limitada pelas curvas f(x)=x e g(x)=e^{x}, nas laterais x=0 e x=1. Este é um problema de área entre curvas, que resolvemos usando integral definida da diferença entre a função superior e a inferior.

Passo 2

Para visualizar, vamos esboçar as duas curvas no plano cartesiano:
– A reta f(x)=x vai de (0,0) a (1,1).
– A exponencial g(x)=e^{x} passa em (0,1) e (1,e), crescendo mais rápido.
Sombreie a região entre as duas curvas para 0≤x≤1.

Passo 3

Precisamos saber qual função está acima no intervalo. Como em x=0 temos e^{0}=1>x=0 e em x=1 temos e^{1}=e>1, concluímos que g(x)=e^{x} está sempre acima de f(x)=x em [0,1].

Passo 4

Montamos a integral da diferença g(x)−f(x) de x=0 até x=1:
A=integral0^1l(e^x-xr),dx

Passo 5

Calculando a integral:
integral e^x,dx=e^x, integral x,dx=x^22
Logo,
A=l[e^x-x^22r]0^1 =l(e-tfrac12r)-l(1-0r)=e-32

Resposta

e-\tfrac{3}{2}

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