1. lim (x, y) (1,3)(4 x y^2-x)
  2. lim (x, y) (0,0) 4 x-ysen y-1
  3. lim (x, y) (-1,2) x y^3x+y
  4. lim (x, y) (1,-3) e^2 x-y^2
  5. lim (x, y) (0,0) ln (1+x^2 y^3)
  6. lim (x, y) (4,-2) x raiz[3]y^3+2 x

Passo 1

O enunciado pede para calcular seis limites de funções de duas variáveis. Vamos usar conceitos de continuidade e substituição direta: funções polinomiais, exponenciais, logaritmo e raízes são contínuas onde estão definidas; para quocientes, precisamos checar que o denominador no ponto não seja zero.

Passo 2

Para o limite 1, a função f(x,y)=4xy^2-x é um polinômio, logo contínua em R^2. Basta substituir (x,y)=(1,3):
4cdot1cdot3^2 - 1 = 4cdot9 - 1 = 36 - 1 = 35
Então o limite vale 35.

Passo 3

No limite 2, temos 4x-ysin y - 1. Tanto o numerador quanto o denominador são contínuos e, ao substituir (x,y)=(0,0), o numerador fica 0 e o denominador fica sin0 -1=-1, que não é zero. Logo
lim(x,y)to(0,0)4x-ysin y - 1 = 0-1 = 0

Passo 4

No limite 3, analisamos x,y^3x+y. Ao substituir (x,y)=(-1,2), o numerador é (-1)cdot2^3=-8 e o denominador é -1+2=1, diferente de zero. Por continuidade:
lim(x,y)to(-1,2)x,y^3x+y = -81 = -8

Passo 5

Para o limite 4, e^2x - y^2 é composição de funções contínuas. Substituindo (1,-3) no expoente:
2cdot1 - (-3)^2 = 2 - 9 = -7
e assim
lim(x,y)to(1,-3)e^2x - y^2 = e^-7

Passo 6

No limite 5, ln(1 + x^2y^3) é contínua onde seu argumento é positivo. Como (x,y)to(0,0) leva 1 + x^2y^3to1, temos
lim(x,y)to(0,0)ln(1 + x^2y^3) = ln(1) = 0

Passo 7

No limite 6, a função xraiz[3]y^3 + 2x é contínua pois a raiz cúbica é definida em todo R. Substituindo (4,-2):
y^3 + 2x = (-2)^3 + 2cdot4 = -8 + 8 = 0
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lim(x,y)to(4,-2) xraiz[3]y^3 + 2x = 4cdot0 = 0

Resposta

(1) 35, (2) 0, (3) -8, (4) e^-7, (5) 0, (6) 0

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