Determine a área da regiāo compreendida entre a curva y=x \sqrt{2 r}+3 e o semicixo negativo dos x.

Passo 1

O enunciado dá a curva y = x\sqrt{2r}+3 e pede a área da região compreendida entre essa curva e o semicixo negativo dos x.
Informações e o que se pede:
  • A curva é a reta y = x\sqrt{2r}+3.
  • O "semicixo negativo dos x" é o conjunto \{(x,0)\mid x\le 0\}, ou seja, o semieixo y=0 para x\le 0.
  • Pergunta: determinar a área da região limitada entre a reta e esse semicixo negativo.
Observação importante (assunção): para a expressão \sqrt{2r} fazer sentido como número real positivo tomamos r>0. Com r>0 a inclinação \sqrt{2r} é positiva.

Passo 2

Encontrar onde a reta cruza o eixo x (ponto de interseção com y=0), pois esse ponto fecha a região finita entre a reta e o semieixo negativo.
Resolver y=0:
0 = x\sqrt{2r}+3.
Isolando x:
x = -\frac{3}{\sqrt{2r}}.
Denotar esse ponto por x_0, isto é, x_0 = -\dfrac{3}{\sqrt{2r}}. Note que x_0\le0 como esperado.

Passo 3

Entender qual é a região limitada entre a reta e o semicixo negativo dos x.
  • Em x=0 a reta vale y(0)=3>0.
  • Em x=x_0 a reta vale 0.
  • Para x\in[x_0,0] a reta tem y\ge0, portanto a porção da reta entre x_0 e 0 fica acima do eixo x e forma, junto com o semieixo (o segmento do eixo x de x_0 até 0), uma região finita e plana.
Logo, a área pedida é a área entre a curva e o eixo x para x indo de x_0 até 0.

Passo 4

Traduzir a área para uma integral definida (ideia e fórmula usada).
Regra: a área entre uma curva y=f(x) e o eixo x, entre x=a e x=b com f(x)\ge0 nesse intervalo, é
\text{Área}=\int_{a}^{b} f(x)\,dx.Á
Aqui f(x)=x\sqrt{2r}+3, a=x_0=-\dfrac{3}{\sqrt{2r}} e b=0. Portanto
\text{Área}=\int_{x_0}^{0}\bigl(x\sqrt{2r}+3\bigr)\,dx.Á

Passo 5

Calcular a integral passo a passo (antiderivada).
Antiderivada de x\sqrt{2r}: como \sqrt{2r} é constante em relação a x,
\int x\sqrt{2r}\,dx = \sqrt{2r}\int x\,dx = \sqrt{2r}\cdot\frac{x^{2}}{2}.
Antiderivada de 3:
\int 3\,dx = 3x.
Logo uma primitiva de x\sqrt{2r}+3 é
F(x)=\frac{\sqrt{2r}}{2}\,x^{2}+3x.
Aplicar a fórmula da integral definida:
\text{Área}=F(0)-F(x_0) = \left(\frac{\sqrt{2r}}{2}\cdot 0^{2}+3\cdot 0\right) - \left(\frac{\sqrt{2r}}{2}\,x_0^{2}+3x_0\right) = -\frac{\sqrt{2r}}{2}\,x_0^{2}-3x_0.Á

Passo 6

Substituir x_0=-\dfrac{3}{\sqrt{2r}} e simplificar cuidadosamente.
Calcular x_0^{2}:
x_0^{2}=\left(-\frac{3}{\sqrt{2r}}\right)^{2}=\frac{9}{2r}.
Substituir em -\dfrac{\sqrt{2r}}{2}\,x_0^{2}-3x_0:
-\frac{\sqrt{2r}}{2}\cdot\frac{9}{2r}-3\left(-\frac{3}{\sqrt{2r}}\right).
Calcular termo a termo:
  • Primeiro termo:
-\frac{\sqrt{2r}}{2}\cdot\frac{9}{2r}=-\frac{9}{4}\cdot\frac{\sqrt{2r}}{r}.
(porém é mais simples manipular substituindo s=\sqrt{2r}; façamos isso para clarear.)
Definir s=\sqrt{2r}. Então x_0=-\dfrac{3}{s} e x_0^{2}=\dfrac{9}{s^{2}}. Reescrever a expressão da área:
\text{Área}=-s\frac{x_0^{2}}{2}-3x_0 = -s\cdot\frac{9}{2s^{2}} -3\left(-\frac{3}{s}\right) = -\frac{9}{2s} + \frac{9}{s}.Á
Somando:
-\frac{9}{2s}+\frac{9}{s}=\frac{9}{2s}.
Voltando a r (lembre que s=\sqrt{2r}):
\text{Área}=\frac{9}{2\sqrt{2r}}.Á

Passo 7

Interpretação final e verificação rápida:
  • A área é positiva para r>0.
  • Dimensionalmente faz sentido: como \sqrt{2r} tem unidade compatível com coeficiente angular, a expressão final decresce quando a inclinação aumenta (reta mais inclinada cruza o eixo mais à direita, região menor), comportamento coerente.

Resposta

\displaystyle \frac{9}{2\sqrt{2r}}

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