Determine a área da regiāo compreendida entre a curva
e o semicixo negativo dos
.
Passo 1
O enunciado dá a curva
e pede a área da região compreendida entre essa curva e o semicixo negativo dos
.
Informações e o que se pede:
- A curva é a reta
. - O "semicixo negativo dos
" é o conjunto , ou seja, o semieixo para . - Pergunta: determinar a área da região limitada entre a reta e esse semicixo negativo.
Observação importante (assunção): para a expressão
fazer sentido como número real positivo tomamos
. Com
a inclinação
é positiva.
Passo 2
Encontrar onde a reta cruza o eixo
(ponto de interseção com
), pois esse ponto fecha a região finita entre a reta e o semieixo negativo.
Resolver
:
Isolando
:
Denotar esse ponto por
, isto é,
. Note que
como esperado.
Passo 3
Entender qual é a região limitada entre a reta e o semicixo negativo dos
.
- Em
a reta vale . - Em
a reta vale . - Para
a reta tem , portanto a porção da reta entre e fica acima do eixo e forma, junto com o semieixo (o segmento do eixo de até ), uma região finita e plana.
Logo, a área pedida é a área entre a curva e o eixo
para
indo de
até
.
Passo 4
Traduzir a área para uma integral definida (ideia e fórmula usada).
Regra: a área entre uma curva
e o eixo
, entre
e
com
nesse intervalo, é
Aqui
,
e
. Portanto
Passo 5
Calcular a integral passo a passo (antiderivada).
Antiderivada de
: como
é constante em relação a
,
Antiderivada de
:
Logo uma primitiva de
é
Aplicar a fórmula da integral definida:
Passo 6
Substituir
e simplificar cuidadosamente.
Calcular
:
Substituir em
:
Calcular termo a termo:
- Primeiro termo:
(porém é mais simples manipular substituindo
; façamos isso para clarear.)
Definir
. Então
e
. Reescrever a expressão da área:
Somando:
Voltando a
(lembre que
):
Passo 7
Interpretação final e verificação rápida:
- A área é positiva para
. - Dimensionalmente faz sentido: como
tem unidade compatível com coeficiente angular, a expressão final decresce quando a inclinação aumenta (reta mais inclinada cruza o eixo mais à direita, região menor), comportamento coerente.