Calcule a área delimitada
d) pelas curvas y=-x^2+4 e y=x^2

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas
y = -x^2 + 4
e
y = x^2
O conteúdo é integração definida para área entre curvas. Vamos precisar:
  1. Encontrar as abscissas de interseção.
  2. Determinar qual função fica por cima no intervalo.
  3. Montar e calcular a integral da diferença das funções.

Passo 2

Para achar os pontos de interseção, igualamos
-x^2 + 4 = x^2
que dá
2x^2 = 4 Longrightarrow x^2 = 2 Longrightarrow x = pm raiz2

Passo 3

No intervalo [- raiz2, raiz2] temos
-x^2 + 4 ;>=; x^2
porque isso equivale a 4 >= 2x^2. Logo a área é
A = integral-raiz2^raiz2l[(-x^2 + 4) - x^2r],dx = integral-raiz2^raiz2(-2x^2 + 4),dx

Passo 4

O integrando -2x^2+4 é função par, então podemos usar simetria:
A = 2 integral0^raiz2(-2x^2 + 4),dx
Uma primitiva de -2x^2 + 4 é
-23x^3 + 4x
Avaliar de 0 a raiz2
A = 2l[l(-tfrac23(raiz2)^3 + 4raiz2r) - 0r] = 2l[-tfrac23cdot 2raiz2 + 4raiz2r] = 2l(tfrac83raiz2r) = 16raiz23

Resposta

16raiz23

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