Utilize a definição de derivada nas atividades abaixo:
Determine a derivada de
f(x)=raiz[3]x no ponto x0=0.

Passo 1

O enunciado pede para usarmos a definição de derivada para calcular
f'(x0)
em x0=0 para a função
f(x)=raiz[3]x=x^tfrac13
O conteúdo necessário é a definição do quociente de diferença e o cálculo do seu limite.

Passo 2

A definição de derivada em x0=0 é
f'(0) = limhto0f(0+h)-f(0)h

Passo 3

Primeiro observamos que
f(0)=raiz[3]0=0
Então o quociente de diferença fica
f(0+h)-f(0)h = raiz[3]h-0h = raiz[3]hh

Passo 4

Reescrevendo em potências, temos
raiz[3]hh = h^tfrac13h^1 = h^tfrac13-1 = h^-tfrac23
Portanto
f'(0)=limhto0h^-tfrac23

Passo 5

Quando hto0^+, h^-tfrac23to+infty.
Quando hto0^-, como h^-tfrac23=l|hr|^-tfrac23, também vai para +infty.
Como o limite não é finito, a derivada não existe em x0=0.

Resposta

A derivada f'(0) não existe (o limite do quociente de diferença é infinito).

Exercícios relacionados