Exercício 9. (F. 3.3, ex.9) Suponha que phinn=1^infty seja uma base ortonormal de L^2(a, b). Mostre que para todo f e g pertence a L^2(a, b) temos
lang<= f, grang<==sumn=1^inftylang<= f, phinrang<= lang<= g, phinrang<=
Dica: Use f=sumn=1^inftylang<= f, phinrang<= phin, g=sumn=1^inftylang<= g, phinrang<= phin e as propriedades de ortonormalidade.

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade de Parseval–Bessel em L^2(a,b): se phinn=1^infty é uma base ortonormal de L^2(a,b) e f,gin L^2(a,b), então
lang<= f, grang<= ;=;sumn=1^inftylang<= f,phinrang<=,lang<= g,phinrang<=
O conteúdo é o desenvolvimento de funções em uma base ortonormal (séries de Fourier em espaços de Hilbert) e o uso da ortonormalidade para calcular produto interno.

Passo 2

Pela hipótese de base ortonormal completa temos as expansões em série de Fourier:
f ;=;sumn=1^inftylang<= f,phinrang<=,phin, g ;=;sumn=1^inftylang<= g,phinrang<=,phin,
com convergência em norma L^2.

Passo 3

Definimos as somas parciais
fN = sumn=1^Nlang<= f,phinrang<=,phin, gN = sumn=1^Nlang<= g,phinrang<=,phin
Pelo teorema de continuidade do produto interno em espaços de Hilbert,
lang<= f,grang<= =limNtoinftylang<= fN,gNrang<=

Passo 4

Agora calculamos lang<= fN,gNrang<= usando bilinearidade (ou sesquilinearidade) e ortonormalidade:
lang<= fN,gNrang<= =llang<= sumn=1^Nlang<= f,phinrang<=,phin,; summ=1^Nlang<= g,phimrang<=,phimrrang<= =sumn=1^Nsumm=1^N lang<= f,phinrang<=;lang<= g,phimrang<=; lang<=phin,phimrang<=
Como lang<=phin,phimrang<==de<anm, o duplo somatório colapsa para
lang<= fN,gNrang<= =sumn=1^N lang<= f,phinrang<=,lang<= g,phinrang<=

Passo 5

Finalmente, passando ao limite Ntoinfty, obtemos
lang<= f,grang<= =limNtoinftysumn=1^N lang<= f,phinrang<=,lang<= g,phinrang<= =sumn=1^inftylang<= f,phinrang<=,lang<= g,phinrang<=,
que é exatamente a fórmula desejada.

Resposta

lang<= f, grang<==sumn=1^inftylang<= f,phinrang<=,lang<= g,phinrang<=

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