O conteúdo é o desenvolvimento de funções em uma base ortonormal (séries de Fourier em espaços de Hilbert) e o uso da ortonormalidade para calcular produto interno.
Passo 2
Pela hipótese de base ortonormal completa temos as expansões em série de Fourier:
f ;=;sumn=1^inftylang<= f,phinrang<=,phin, g ;=;sumn=1^inftylang<= g,phinrang<=,phin,
com convergência em norma L^2.
Passo 3
Definimos as somas parciais
fN = sumn=1^Nlang<= f,phinrang<=,phin, gN = sumn=1^Nlang<= g,phinrang<=,phin
Pelo teorema de continuidade do produto interno em espaços de Hilbert,
lang<= f,grang<= =limNtoinftylang<= fN,gNrang<=
Passo 4
Agora calculamos lang<= fN,gNrang<= usando bilinearidade (ou sesquilinearidade) e ortonormalidade: