Q. 3. Considerando as equações (%) lim x a^- f(x)=M e(x) lim x a^+ f(x)=N, a alternativa correta é:
(a) Se M=N=+infty (ou -infty ) afirmamos então que existe lim x a f(x);
(b) A partir de (%) escrevemos: forall varepsilon>0, exists de<a>0 ; x<a+de<a Rightarrow|f(x)-M|<varepsilon;
(c) A partir de (丸) escrevemos: forall varepsilon>0, exists de<a>0 ; a<x<a+de<a Rightarrow|f(x)-N|<varepsilon;
(d) A partir de (%) escrevemos: forall varepsilon>0, exists de<a>0 ; a-de<a<x Rightarrow|f(x)-M|<varepsilon.

Passo 1

O enunciado dá duas “equações” de limite lateral:
limxto a^-f(x)=M e limxto a^+f(x)=N.
O conteúdo aqui é a definição epsilon de<a de limites laterais e a noção de existência de limite em R.

Passo 2

A definição correta de limite pela direita é
limxto a^+f(x)=N Long<=ftrightarrow forall varepsilon>0,;exists de<a>0;tal que;a<x<a+de<a;Rightarrow;|f(x)-N|<varepsilon
Isso coincide exatamente com a alternativa (c).

Passo 3

As alternativas (b) e (d) tentam dar a definição de limite pela esquerda, mas estão erradas porque deixam de impor simultaneamente
a-de<a < x < a
e usam apenas x<a+de<a ou a-de<a<x, sem garantir que x se aproxime de a pela esquerda.

Passo 4

A alternativa (a) afirma que se M=N=+infty então o limite existe. Na noção usual de limite em R, “existir limite” significa ter valor finito. Se ambos os lados tendem a +infty, dizemos que a função diverge (o limite “é infinito”), não que existe um limite real.

Resposta

(c)

Exercícios relacionados