Calcule a área delimitada pela elipse .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área delimitada por uma elipse que está definida pelas equações paramétricas:
x = 2 cos t y = 12 sin t
Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente a fórmula para calcular a área de uma curva parametrizada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área $ A $ de uma curva parametrizada por $ x(t) $ e $ y(t) $, onde $ t $ varia de $ a $ a $ b $:
A
Aqui, $ x’(t) $ é a derivada de $ x(t) $ em relação a $ t $.

Passo 3

Vamos identificar $ x(t) $ e $ y(t) $ no nosso caso:
x(t)
Agora, vamos calcular $ x’(t) $:
y(t)

Passo 4

Agora, substituímos na fórmula da área:
A = integral0^2pi y(t) cdot x'(t) , dt = integral0^2pi ( 12 sin t ) cdot (-2 sin t) , dt
Simplificando a expressão dentro da integral:
A = integral0^2pi -sin^2 t , dt

Passo 5

Vamos resolver a integral:
A = -integral0^2pi sin^2 t , dt
Sabemos que:
sin^2 t = 1 - cos(2t)2
Então:
A = -integral0^2pi 1 - cos(2t)2 , dt = -12 integral0^2pi (1 - cos(2t)) , dt
Integrando termo a termo:
A = -12 [ t - sin(2t)2 ]0^2pi
Calculando nos limites:
A = -12 [ (2pi - 0) - sin(4pi) - sin(0)2 ] = -12 (2pi) = -pi
Como a área não pode ser negativa, consideramos o valor absoluto:
A = pi

Resposta

A área delimitada pela elipse é $ \pi $ unidades de área.

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