Calcule a área delimitada pela elipse .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área delimitada por uma elipse que está definida pelas equações paramétricas:
Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente a fórmula para calcular a área de uma curva parametrizada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área $ A $ de uma curva parametrizada por $ x(t) $ e $ y(t) $, onde $ t $ varia de $ a $ a $ b $:
Aqui, $ x’(t) $ é a derivada de $ x(t) $ em relação a $ t $.
Passo 3
Vamos identificar $ x(t) $ e $ y(t) $ no nosso caso:
Agora, vamos calcular $ x’(t) $:
Passo 4
Agora, substituímos na fórmula da área:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 5
Vamos resolver a integral:
Sabemos que:
Então:
Integrando termo a termo:
Calculando nos limites:
Como a área não pode ser negativa, consideramos o valor absoluto:
Resposta
A área delimitada pela elipse é $ \pi $ unidades de área.