ncontre a solução da equação integral:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação integral juntos! A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação integral de Volterra do segundo tipo, onde a função desconhecida $ y(x) $ aparece tanto fora quanto dentro da integral. Para resolver isso, vamos usar o método de diferenciação, que envolve derivar ambos os lados da equação para transformar a equação integral em uma equação diferencial mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a $ x $. Isso nos ajuda a eliminar a integral. Lembre-se que a derivada de uma integral com limite variável pode ser calculada usando o Teorema Fundamental do Cálculo.
Derivando o lado esquerdo:
Derivando o lado direito:
Vamos calcular cada parte separadamente.
Passo 3
Primeiro, a derivada de $ \cos(x) $ é:
Agora, para a derivada da integral, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo combinado com a regra da cadeia para a função dentro da integral:
Simplificando $ e^{x - x} = e^{0} = 1 $:
Passo 4
Agora, substituímos as derivadas encontradas de volta na equação original:
Simplificando:
Lembrando da equação original:
Podemos substituir a integral da equação original na expressão para $ y’(x) $:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão:
Os termos $ -y(x) $ e $ +y(x) $ se cancelam:
Isso nos dá uma equação diferencial simples:
Passo 6
Agora, precisamos resolver essa equação diferencial para encontrar $ y(x) $. Vamos integrar ambos os lados em relação a $ x $:
A integral de $ y’(x) $ é simplesmente $ y(x) $:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 7
Calculando as integrais:
Então:
Passo 8
Agora, precisamos determinar a constante $ C $. Para isso, usamos a condição inicial. Observando a equação original quando $ x = 0 $:
Substituindo $ x = 0 $ na solução geral:
Igualando a 1:
Resposta
A solução da equação integral é: