ncontre a solução da equação integral:
y(x)=cos (x)-integral0^x e^x-tau y(tau) d tau

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação integral juntos! A equação que temos é:
y(x) = cos(x) - integral0^x e^x - tau y(tau) , dtau
Aqui, estamos lidando com uma equação integral de Volterra do segundo tipo, onde a função desconhecida $ y(x) $ aparece tanto fora quanto dentro da integral. Para resolver isso, vamos usar o método de diferenciação, que envolve derivar ambos os lados da equação para transformar a equação integral em uma equação diferencial mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a $ x $. Isso nos ajuda a eliminar a integral. Lembre-se que a derivada de uma integral com limite variável pode ser calculada usando o Teorema Fundamental do Cálculo.
Derivando o lado esquerdo:
x
Derivando o lado direito:
dy(x)dx = y'(x)
Vamos calcular cada parte separadamente.

Passo 3

Primeiro, a derivada de $ \cos(x) $ é:
cos(x)
Agora, para a derivada da integral, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo combinado com a regra da cadeia para a função dentro da integral:
ddx[ cos(x) ] = -sin(x)
Simplificando $ e^{x - x} = e^{0} = 1 $:
ddx[ integral0^x e^x - tau y(tau) , dtau ] = e^x - x y(x) + integral0^x partialpartial x ( e^x - tau y(tau) ) , dtau

Passo 4

Agora, substituímos as derivadas encontradas de volta na equação original:
y'(x) = -sin(x) - ( y(x) + integral0^x e^x - tau y(tau) , dtau )
Simplificando:
y'(x) = -sin(x) - y(x) - integral0^x e^x - tau y(tau) , dtau
Lembrando da equação original:
y(x) = cos(x) - integral0^x e^x - tau y(tau) , dtau
Podemos substituir a integral da equação original na expressão para $ y’(x) $:
y'(x)

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
y'(x) = -sin(x) - y(x) - cos(x) + y(x)
Os termos $ -y(x) $ e $ +y(x) $ se cancelam:
-y(x)
Isso nos dá uma equação diferencial simples:
+y(x)

Passo 6

Agora, precisamos resolver essa equação diferencial para encontrar $ y(x) $. Vamos integrar ambos os lados em relação a $ x $:
y(x)
A integral de $ y’(x) $ é simplesmente $ y(x) $:
x
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 7

Calculando as integrais:
integral -sin(x) , dx = cos(x)
integral -cos(x) , dx = -sin(x)
Então:
y(x) = cos(x) - sin(x) + C

Passo 8

Agora, precisamos determinar a constante $ C $. Para isso, usamos a condição inicial. Observando a equação original quando $ x = 0 $:
C
Substituindo $ x = 0 $ na solução geral:
x = 0
Igualando a 1:
y(0) = cos(0) - integral0^0 e^0 - tau y(tau) , dtau = 1 - 0 = 1

Resposta

A solução da equação integral é:
y(x) = cos(x) - sin(x)

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