Encontre a Transformada de Laplace da função:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a Transformada de Laplace da função $ g(x) $, que é definida por duas partes:
- $ g(x) = 0 $ quando $ 0 \leq x < 2 $
- $ g(x) = x^{2} $ quando $ x \geq 2 $
Vamos precisar entender o que é a Transformada de Laplace e como aplicá-la em funções definidas por partes. Basicamente, a Transformada de Laplace é uma ferramenta que transforma funções do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução de equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função $ g(x) $ usando a função degrau de Heaviside, que é uma maneira prática de representar funções que mudam de valor em um certo ponto. A função heaviside $ u(x - a) $ é igual a 0 para $ x < a $ e igual a 1 para $ x \geq a $.
Então, podemos expressar $ g(x) $ da seguinte forma:
Simplificando, já que $ u(x - 0) $ é sempre 1:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace nessa expressão. A propriedade da Transformada de Laplace que nos ajuda aqui é:
onde $ \mathcal{L} $ representa a Transformada de Laplace, $ s $ é a variável complexa, e $ a $ é o ponto onde o degrau ocorre.
No nosso caso, $ f(x) = x^{2} $ e $ a = 2 $. Portanto:
Passo 4
Vamos calcular a Transformada de Laplace de $ (x + 2)^{2} $. Expandindo o quadrado:
Agora, aplicamos a Transformada de Laplace a cada termo separadamente:
Portanto:
Passo 5
Voltando à expressão anterior:
Isso já é a Transformada de Laplace da função $ g(x) $. Podemos deixar assim ou fatorar $ e^{-2 s} $:
Resposta
A Transformada de Laplace da função $ g(x) $ é: