Por que dizemos que o conjunto dos números inteiros é enumerável?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão é: Por que dizemos que o conjunto dos números inteiros é enumerável? Isso está dentro da matéria de Teoria dos Conjuntos e Contagem. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser enumerável e como podemos mostrar que os inteiros se encaixam nessa definição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um conjunto enumerável. Um conjunto é chamado de enumerável (ou contável) se conseguimos listar todos os seus elementos de forma que cada elemento tenha uma posição única na lista, sem deixar nenhum de fora. Em outras palavras, conseguimos estabelecer uma correspondência um a um entre os elementos do conjunto e os números naturais $ \mathbb{N} = {0, 1, 2, 3, \dots} $.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso ao conjunto dos números inteiros $ \mathbb{Z} = {\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots} $. Para mostrar que $ \mathbb{Z} $ é enumerável, precisamos criar uma lista onde cada número inteiro apareça exatamente uma vez, e cada um tenha uma posição correspondente em $ \mathbb{N} $.

Passo 4

Uma maneira de fazer isso é organizar os números inteiros de forma alternada entre positivos e negativos, começando pelo zero. A sequência ficaria assim: $ 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, \dots $. Dessa forma, cada inteiro está incluído na lista e cada posição na lista corresponde a um número natural. Assim, estabelecemos uma correspondência bijetiva entre $ \mathbb{N} $ e $ \mathbb{Z} $.

Resposta

Portanto, o conjunto dos números inteiros é enumerável porque podemos listá-los em uma sequência onde cada inteiro corresponde a um número natural único, estabelecendo uma correspondência um a um entre $ \mathbb{N} $ e $ \mathbb{Z} $.

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