Calcule a área delimitada pela elipse , ou seja, .
Passo 1
A questão pede a área da região delimitada pela elipse . O conteúdo envolvido é integrais duplas e mudança de variáveis para facilitar o cálculo da área.
Passo 2
Para aproveitar uma região mais simples, usamos a transformação linear
que envia o disco unitário na região .
Passo 3
Calculamos a Jacobiana dessa mudança de variável. Como
a integral de área fica
integral duplaE1,dA = integral duplaD1cdotl|a br|,du,dv = a bintegral duplaDdu,dv
Passo 4
Restou calcular a área do disco unitário D. Em coordenadas polares (u=rcostheta,,v=rsintheta) temos
integral duplaDdu,dv = integral0^2piintegral0^1r,dr,dtheta = 2pi[tfracr^22]0^1 = pi