Calcule a área delimitada pela elipse E: x^2a^2+y^2b^2=1, ou seja, integral duplaE 1 d A.

Passo 1

A questão pede a área da região delimitada pela elipse E: x^2a^2+y^2b^2=1. O conteúdo envolvido é integrais duplas e mudança de variáveis para facilitar o cálculo da área.

Passo 2

Para aproveitar uma região mais simples, usamos a transformação linear
x = a u, y = b v
que envia o disco unitário D: u^2+v^2<=1 na região E.

Passo 3

Calculamos a Jacobiana dessa mudança de variável. Como
partial(x,y)partial(u,v) = ,a & 0 0 & b = a b,
a integral de área fica
integral duplaE1,dA = integral duplaD1cdotl|a br|,du,dv = a bintegral duplaDdu,dv

Passo 4

Restou calcular a área do disco unitário D. Em coordenadas polares (u=rcostheta,,v=rsintheta) temos
integral duplaDdu,dv = integral0^2piintegral0^1r,dr,dtheta = 2pi[tfracr^22]0^1 = pi

Passo 5

Portanto a área da elipse é
integral duplaE1,dA = a bcdotpi = pi a b

Resposta

pi a b

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