Considere
o último dígito do seu RA. Por exemplo, se
, então
.
Para cada função abaixo, calcule a sua derivada e responda a pergunta associada.
. Qual o domínio dessa função?
Para cada função abaixo, calcule a sua derivada e responda a pergunta associada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada da função $ f(x) = (a+2)^{x} e^{x+a+1} $ e, além disso, descobrir qual é o domínio dessa função. Estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas de funções que envolvem exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar funções exponenciais e também determinar para quais valores de $ x $ a função está definida.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa derivar uma função. A derivada nos dá a taxa de variação da função em relação a $ x $. No nosso caso, temos uma função que é o produto de duas exponenciais: $ (a+2)^{x} $ e $ e^{x+a+1} $. Para derivar essa função, vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de $ u(x) \cdot v(x) $ é $ u’(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v’(x) $.
Passo 3
Vamos identificar $ u(x) $ e $ v(x) $ na nossa função:
- $ u(x) = (a+2)^{x} $
- $ v(x) = e^{x+a+1} $
Agora, precisamos encontrar as derivadas de $ u(x) $ e $ v(x) $ individualmente.
Passo 4
Para derivar $ u(x) = (a+2)^{x} $, lembramos que a derivada de $ b^{x} $ em relação a $ x $ é $ b^{x} \ln(b) $. Então:
Passo 5
Agora, vamos derivar $ v(x) = e^{x+a+1} $. Sabemos que a derivada de $ e^{k} $ em relação a $ x $, onde $ k $ é uma função de $ x $, é $ e^{k} \cdot k’ $. Aqui, $ k = x + a + 1 $, então $ k’ = 1 $. Assim:
Passo 6
Agora que temos $ u’(x) $ e $ v’(x) $, aplicamos a regra do produto:
Substituindo:
Passo 7
Podemos fatorar $ (a+2)^{x} e^{x+a+1} $ dos dois termos:
Passo 8
Agora, vamos determinar o domínio da função $ f(x) = (a+2)^{x} e^{x+a+1} $. O domínio de uma função são todos os valores de $ x $ para os quais a função está definida.
Passo 9
Observamos que:
- $ (a+2)^{x} $ está definido para todo $ x $ real, desde que $ a+2 > 0 $.
- $ e^{x+a+1} $ está definido para todo $ x $ real, pois a função exponencial é definida para todos os números reais.
Como $ a $ é o último dígito do RA, ou seja, $ 0 \leq a \leq 9 $, temos que $ a+2 $ varia de 2 a 11, sempre positivo.
Passo 10
Portanto, não há restrições para $ x $ na função $ f(x) $. Ela está definida para todos os números reais.
Resposta
O domínio da função $ f(x) = (a+2)^{x} e^{x+a+1} $ é todos os números reais, ou seja, $ x \in \mathbb{R} $.