Calcule as integrais indefinidas a seguir usando a técnica de integração por frações parciais quando conveniente.
$ \int \frac{x+3}{x^{2}-3 x+2} d x$

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral x+3x^2-3x+2,dx. O conteúdo principal aqui é integração de função racional usando frações parciais. Vamos precisar fatorar o denominador e decompor a expressão em termos mais simples.

Passo 2

Note que o denominador é um polinômio de segundo grau. Fatorando:
x^2-3x+2=(x-1)(x-2)
Então podemos escrever
x+3(x-1)(x-2)=Ax-1+Bx-2

Passo 3

Agora montamos a equação para encontrar A e B:
x+3=A(x-2)+B(x-1)=(A+B)x-(2A+B)
Comparando coeficientes, obtemos o sistema:
A+B=1, -2A-B=3
Resolvendo, temos A=-4 e B=5.

Passo 4

Substituindo de volta e integrando termo a termo:
integral x+3x^2-3x+2,dx=integrall(-4x-1+5x-2r)dx=-4integraldxx-1+5integraldxx-2
Como integraldxx-a=ln|x-a|+C, o resultado é
-4ln|x-1|+5ln|x-2|+C

Resposta

-4\ln|x-1|+5\ln|x-2|+C

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