Calcule a área delimitada pelas funções y=x^2 e y=2 x.
Sugestão: Esboce os gráficos e identifique a região (saber qual função se posiciona por cima); determine os pontos de interseção; calcule a área utilizando a integral definida.

Passo 1

Neste exercício vamos calcular a área delimitada pelas curvas y=x^2 e y=2x. O conteúdo envolve integração definida e a ideia de área entre curvas. Para resolver, precisamos: esboçar os gráficos, identificar qual função fica por cima, encontrar os pontos de interseção e finalmente montar e calcular a integral que dá a área.

Passo 2

Para saber qual função está por cima no intervalo de interesse, podemos observar ou esboçar os gráficos de y=x^2 (uma parábola voltada para cima) e y=2x (uma reta). No intervalo onde elas se interceptam, comparando x^2 e 2x, vemos que para valores de x entre 0 e 2 a reta 2x está acima da parábola x^2.

Passo 3

Encontrar os pontos de interseção resolvendo x^2=2x. Isso dá x(x-2)=0, logo x=0 e x=2. Esses serão os limites de integração.

Passo 4

A área entre duas curvas de x=a até x=b é dada por integrala^b (função superior - função inferior),dxçãçã. Aqui montamos a integral
integral0^2 l(2x - x^2r),dx

Passo 5

Calculamos a antiderivada: integral (2x - x^2),dx = x^2 - tfracx^33. Avaliando de 0 a 2:
l(2^2 - tfrac2^33r) - 0 = 4 - tfrac83 = tfrac43

Passo 6

Portanto, a área delimitada pelas curvas é tfrac43.

Resposta

tfrac43

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