Esboce o gráfico de
e ache cada limite se existir:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar o gráfico da função $ f(x) $ e encontrar alguns limites, se eles existirem. A função $ f(x) $ é definida de duas formas diferentes dependendo de $ x $:
Então, vamos precisar entender sobre funções por partes e limites para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos esboçar o gráfico da função $ f(x) $. Como a função é definida de duas maneiras diferentes, vamos desenhar cada parte separadamente.
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Para $ x \leq 1 $: $ f(x) = x^{3} $
- Essa é uma função cúbica. Sabemos que $ x^{3} $ tem uma curva que passa pela origem (0,0) e é crescente para $ x > 0 $ e decrescente para $ x < 0 $.
- No ponto $ x = 1 $, $ f(1) = 1^{3} = 1 $.
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Para $ x > 1 $: $ f(x) = 3 - x $
- Essa é uma função linear com inclinação negativa.
- No ponto logo após $ x = 1 $, por exemplo, $ x = 1.1 $, $ f(1.1) = 3 - 1.1 = 1.9 $.
Agora, vamos juntar as duas partes no gráfico. Em $ x = 1 $, a função muda de cúbica para linear.
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite $ \lim_{x \rightarrow 1^{-}} f(x) $. Esse limite representa o valor que $ f(x) $ se aproxima quando $ x $ vem de valores menores que 1, ou seja, pela esquerda de 1.
Para calcular esse limite, usamos a definição de $ f(x) $ para $ x \leq 1 $, que é $ f(x) = x^{3} $.
Então,
Sabemos que para funções polinomiais como $ x^{3} $, o limite quando $ x $ aproxima de algum valor é simplesmente o valor da função nesse ponto. Portanto,
Resposta
O limite $ \lim_{x \rightarrow 1^{-}} f(x) $ existe e é igual a $ 1 $.