Levando-sae em conta os resultados abaixo:
- O volume
do sólido gerado pela rotação de uma região
em torno do eixo ox é
- O volume
do sólido gerado pela rotação de uma região
em torno do eixo oy é
- A área da superfície
gerada pela revolução da curva dada por
entre
e
em torno do eixo oy é
- A área da superfície
gerada pela revolução da curva dada por
entre
e
em torno do eixo
é
determine a área da superfıcie de revolução e o volume do sólido de revolução determinados pela rotação da região dada em torno de cada um dos eixos coordenados:
parábola
e o eixo ox;
determine a área da superfıcie de revolução e o volume do sólido de revolução determinados pela rotação da região dada em torno de cada um dos eixos coordenados:
parábola
Passo 1
Temos a parábola
e a reta
. Vamos girar a região limitada por essas curvas em torno do eixo
. O conteúdo aqui é revolução de área para obter volume e revolução de curva para obter área de superfície. Precisaremos do intervalo onde
intersecta o eixo
e das fórmulas
Passo 2
Para achar os limites de integração, resolvemos
:
Logo
ou
. Então vamos integrar de
até
.
Passo 3
Volume: aplicamos
Então
Integrando termo a termo:
Passo 4
Área de superfície: usamos
Aqui
, então
Fazemos a mudança
, que leva
e
. Além disso
. Assim
Passo 5
Para calcular
fazemos a substituição trigonométrica
$$
I=\frac{31}{16}\sqrt{17}+\frac{65}{64}\ln\bigl(\sqrt{17}+4\bigr).
S=4\pi I=\frac{31\pi\sqrt{17}}{4}+\frac{65\pi}{16}\ln\bigl(\sqrt{17}+4\bigr).
$$
Resposta
Volume:
. Área de superfície:
.