Levando-sae em conta os resultados abaixo:
  • O volume V do sólido gerado pela rotação de uma região R em torno do eixo ox é
    V=integrala^b pi[f(x)]^2 d x
  • O volume V do sólido gerado pela rotação de uma região R em torno do eixo oy é
    V=integrala^b 2 pi x f(x) d x
  • A área da superfície S gerada pela revolução da curva dada por y=f(x) entre x=a e x=b em torno do eixo oy é
    S=integrala^b 2 pi x raiz1+[f^prime(x)]^2 d x
  • A área da superfície S gerada pela revolução da curva dada por y=f(x) entre x=a e x=b em torno do eixo o x é
    S=integrala^b 2 pi f(x) raiz1+[f^prime(x)]^2 d x
    determine a área da superfıcie de revolução e o volume do sólido de revolução determinados pela rotação da região dada em torno de cada um dos eixos coordenados:
    parábola y=4 x-x^2 e o eixo ox;

Passo 1

Temos a parábola y=f(x)=4x-x^2 e a reta y=0. Vamos girar a região limitada por essas curvas em torno do eixo ox. O conteúdo aqui é revolução de área para obter volume e revolução de curva para obter área de superfície. Precisaremos do intervalo onde f(x) intersecta o eixo ox e das fórmulas

Passo 2

Para achar os limites de integração, resolvemos 4x-x^2=0:
x(4-x)=0
Logo x=0 ou x=4. Então vamos integrar de a=0 até b=4.

Passo 3

Volume: aplicamos
V=integrala^b pi[f(x)]^2,dx
Então
V=piintegral0^4(4x - x^2)^2,dx =piintegral0^4(16x^2 -8x^3 + x^4),dx
Integrando termo a termo:
V=pil[tfrac163x^3 -2x^4 +tfrac15x^5r]0^4 =picdot51215 = 512pi15

Passo 4

Área de superfície: usamos
S=integrala^b2pi f(x)raiz1+[f'(x)]^2,dx
Aqui f'(x)=4-2x, então
1+[f'(x)]^2=1+(4-2x)^2=4(x-2)^2+1
Fazemos a mudança u=x-2, que leva x=0to u=-2 e x=4to u=2. Além disso f(x)=4- u^2. Assim
S=2piintegral-2^2(4-u^2)raiz4u^2+1,du =4piintegral0^2(4-u^2)raiz4u^2+1,du

Passo 5

Para calcular
I=integral0^2(4-u^2)raiz4u^2+1,du
fazemos a substituição trigonométrica u=tfrac12tantheta, de theta=0 a theta=arctan4. Após várias etapas (uso da redução para potências de sec), chega-se a
$$
I=\frac{31}{16}\sqrt{17}+\frac{65}{64}\ln\bigl(\sqrt{17}+4\bigr).
I=3116raiz17+6564lnl(raiz17+4r)
S=4\pi I=\frac{31\pi\sqrt{17}}{4}+\frac{65\pi}{16}\ln\bigl(\sqrt{17}+4\bigr).
$$

Resposta

Volume: V=tfrac512pi15. Área de superfície: S=dfrac31piraiz174+dfrac65pi16ln(raiz17+4).

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