Calcule a área delimitada
h) pela curva y=raizx e pelas retas y=x-2 e y=0

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas y=raizx, y=x-2 e y=0. O conteúdo é cálculo de área de regiões, e vamos precisar encontrar os pontos de interseção das curvas e usar integração definida para somar as áreas apropriadas.

Passo 2

Determinar as interseções:
  1. raizx=0 x=0.
  2. x-2=0 x=2.
  3. raizx=x-2. Supondo x>=2, elevamos ao quadrado:
x=(x-2)^2;Longrightarrow;x=x^2-4x+4;Longrightarrow;x^2-5x+4=0
As raízes são x=1 ou x=4, mas só x=4>=2 vale. Então há interseção em (4,2).

Passo 3

Analisando qual função está acima em cada intervalo:
  • Para 0<= x<=2, a região fica entre y=raizx (em cima) e y=0.
  • Para 2<= x<=4, a região fica entre y=raizx (em cima) e y=x-2 (embaixo).
Assim a área total é
integral0^2raizx,dx ;+;integral2^4l(raizx-(x-2)r),dx

Passo 4

Calcular cada integral:
integral0^2raizx,dx =integral0^2x^1/2,dx =l[tfrac23x^3/2r]0^2 =tfrac23l(2^3/2-0r) =tfrac4raiz23
integral2^4l(raizx-(x-2)r),dx =integral2^4x^1/2,dx -integral2^4x,dx +integral2^42,dx
Calculemos em partes:
integral2^4x^1/2,dx =l[tfrac23x^3/2r]2^4 =tfrac23(8-2raiz2) =tfrac163-tfrac4raiz23,
integral2^4x,dx =l[tfracx^22r]2^4 =tfrac162-tfrac42 =8-2=6,
integral2^42,dx =2,(4-2)=4
Portanto
integral2^4l(raizx-(x-2)r),dx =l(tfrac163-tfrac4raiz23r)-6+4 =tfrac103-tfrac4raiz23

Passo 5

Somando as duas áreas:
tfrac4raiz23 ;+;l(tfrac103-tfrac4raiz23r) =tfrac103

Resposta

A área da região é 103.

Exercícios relacionados