Questão 4 (3,0 pontos)
Determine soluções limitadas do problema de Neumann na região exterior do círculo unitário:
Passo 1
O problema é a equação de Laplace em coordenadas polares para a região exterior do círculo unitário, com condição de Neumann em
e solução limitada quando
:
Vamos usar separação de variáveis e expandir em séries de Fourier em
.
Passo 2
Procuramos solução da forma
Cada modo em
satisfaz a equação radial de Bessel de ordem
, cuja solução geral é
Passo 3
Como queremos
limitada quando
, devemos anular os termos crescentes em
:
Logo
Passo 4
Calculamos
Na fronteira
essa derivada deve ser
. Expandimos
Passo 5
Igualando coeficientes em
obtemos para
Para o modo zero temos
não depende de
, logo é
; isso força
que é a condição de compatibilidade necessária para existência de solução de Neumann.
Passo 6
Substituindo os coeficientes em
, a solução geral limitada é
onde
é constante arbitrária e
Resposta
com
e a condição