Questão 4 (3,0 pontos)

Determine soluções limitadas do problema de Neumann na região exterior do círculo unitário:
& ur r+1r ur+1r^2 utheta theta=0, D:(r>1,0<theta<2 pi) & ur(1, theta)=g(theta)

Passo 1

O problema é a equação de Laplace em coordenadas polares para a região exterior do círculo unitário, com condição de Neumann em r=1 e solução limitada quando rtoinfty:
urr+1rur+1r^2uthetatheta=0, r>1,;0<theta<2pi,
ur(1,theta)=g(theta), u limitada em rtoinfty
Vamos usar separação de variáveis e expandir em séries de Fourier em theta.

Passo 2

Procuramos solução da forma
u(r,theta)=a0(r)+sumn=1^inftyl[an(r)cos(ntheta)+bn(r)sin(ntheta)r]
Cada modo em n satisfaz a equação radial de Bessel de ordem n, cuja solução geral é
a0(r)=A0+B0ln r, an(r)=Anr^n+Cnr^-n, bn(r)=Dnr^n+Enr^-n

Passo 3

Como queremos u limitada quando rtoinfty, devemos anular os termos crescentes em r:
B0=0, An=0, Dn=0(forall n>=1)
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u(r,theta)=A0+sumn=1^inftyl[Cnr^-ncos(ntheta)+Enr^-nsin(ntheta)r]

Passo 4

Calculamos
ur(r,theta)=sumn=1^inftyl[-n,Cnr^-n-1cos(ntheta)-n,Enr^-n-1sin(ntheta)r]
Na fronteira r=1 essa derivada deve ser g(theta). Expandimos
g(theta)=g0+sumn=1^inftyl(gncos(ntheta)+hnsin(ntheta)r)

Passo 5

Igualando coeficientes em
ur(1,theta)=g(theta)
obtemos para n>=1
-n,Cn=gn, -n,En=hn Longrightarrow Cn=-gnn,;En=-hnn
Para o modo zero temos ur não depende de A0, logo é 0; isso força
g0=12piintegral0^2pig(theta),dtheta=0,
que é a condição de compatibilidade necessária para existência de solução de Neumann.

Passo 6

Substituindo os coeficientes em u(r,theta), a solução geral limitada é
u(r,theta) =A0 -sumn=1^inftygnn,r^-ncos(ntheta) -sumn=1^inftyhnn,r^-nsin(ntheta),
onde A0 é constante arbitrária e
gn=1piintegral0^2pig(theta)cos(ntheta),dtheta, hn=1piintegral0^2pig(theta)sin(ntheta),dtheta

Resposta

u(r,theta) =A0 -sumn=1^infty1nl[gn,r^-ncos(ntheta)+hn,r^-nsin(ntheta)r],
com
gn=1piintegral0^2pig(theta)cos(ntheta),dtheta, hn=1piintegral0^2pig(theta)sin(ntheta),dtheta,
e a condição
integral0^2pig(theta),dtheta=0

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