Verifique se os limites abaixo existem e calcule os limites neste caso.
(1pt) lim x -infty(raizx^2-x-x)

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto -inftyl(raizx^2-x-xr)
O conteúdo é estudo de limites infinitos e manipulação de expressões com raiz. Vamos usar a técnica de racionalização (multiplicar pelo conjugado) para simplificar a expressão e verificar se o limite é finito ou diverge.

Passo 2

Racionalizamos multiplicando e dividindo por raizx^2 - x+x:
raizx^2 - x-x =l(raizx^2 - x-xr)l(raizx^2 - x+xr)raizx^2 - x+x =x^2 - x - x^2raizx^2 - x+x =-xraizx^2 - x+x

Passo 3

Agora analisamos
-xraizx^2 - x+x
quando xto -infty. Note que para x<0 temos raizx^2 - x=|x|raiz1-tfrac1x=-xraiz1-tfrac1x. Então o denominador fica
raizx^2 - x+x =-xraiz1-tfrac1x+x =xl(1-raiz1-tfrac1xr)

Passo 4

Logo a expressão vira
-xxl(1-raiz1-tfrac1xr) =-11-raiz1-tfrac1x
Para xto -infty temos tfrac1xto0 e raiz1-tfrac1xto1. Assim o denominador 1-raiz1-tfrac1x tende a 0 pelo lado positivo (pois para x negativo pequeno, raiz1-tfrac1x>1 levemente). Portanto a fração cresce sem limite superior.

Resposta

O limite não é finito; de fato
limxto -inftyl(raizx^2-x-xr)=+infty

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