(1,0)
(a) Verifique que beta=1+t,-1+t, t^2 é uma base de P2.
(b) Verifique que T: P2 P2 definido por T(f(t))=d f(t)d t-f(t) é um operador linear.
(c) Encontre a matriz que representa T com relação à base beta.
(d) Utilize a matriz encontrada no item anterior para achar a solução de T(f(t))=3- 3 t+2 t^2 em <beta>.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas em P2, o espaço dos polinômios de grau <=2: em (a) mostrar que beta=1+t,,-1+t,,t^2 é base; em (b) verificar que Tcolon P2to P2, dada por
T(f(t)) = df(t)dt - f(t),
é linear; em (c) encontrar a matriz de T na base beta; e em (d) usar essa matriz para resolver T(f(t)) = 3 - 3t + 2t^2 escrevendo f em coordenadas de beta.

Passo 2

Para ver que beta é base, mostramos que 1+t,,-1+t,,t^2 é L.I. e tem 3 vetores em P2 (dimensão 3). Se
a(1+t) + b(-1+t) + c,t^2 equiv 0,
então, comparando coeficientes em t^2, t e termo constante, vem
c=0, a+b=0, a - b=0
Dessas duas últimas segue a=b=0. Logo só a combinação trivial anula, provando L.I.; como são 3 vetores, formam base.

Passo 3

Mostramos linearidade de T. Dados f,gin P2 e lambdainR,
T(f+g) = (f'+g') - (f+g) = (f'-f) + (g'-g) = T(f) + T(g),
T(lambda f) = (lambda f)' - lambda f = lambda f' - lambda f = lambda,T(f)
Logo T é operador linear.

Passo 4

Vamos achar a matriz M de T em beta. Denotamos b1=1+t, b2=-1+t, b3=t^2.
1. T(b1)=T(1+t)=1-(1+t)=-t. Procuramos alpha,beta,gamma tais que
-t = alpha(1+t)+beta(-1+t)+gamma t^2
Comparando coeficientes: de t^2: gamma=0; de t: alpha+beta=-1; constante: alpha-beta=0. Daí alpha=beta=-tfrac12. Logo primeira coluna de M é l[-tfrac12,,-tfrac12,,0r]^T.
2. T(b2)=T(-1+t)=1-(-1+t)=2-t. Fazendo igual a alpha(1+t)+beta(-1+t)+gamma t^2 gamma=0, alpha+beta=-1, alpha-beta=2. Resolve-se alpha=tfrac12, beta=-tfrac32. Segunda coluna é l[tfrac12,,-tfrac32,,0r]^T.
3. T(b3)=T(t^2)=2t - t^2. Igualando a alpha(1+t)+beta(-1+t)+gamma t^2 gamma=-1, alpha+beta=2, alpha-beta=0. Logo alpha=beta=1. Terceira coluna é l[1,,1,,-1r]^T.
Portanto,
M = -tfrac12 & tfrac12 & 1 -tfrac12 & -tfrac32 & 1 0 & 0 & -1

Passo 5

Queremos tal que . Primeiro expressamos em coordenadas de : buscamos com
Da comparação vem , , . Resolve-se , . Logo o vetor da imagem é .
Agora resolvemos
O sistema é
Da última equação . Substituindo nos dois primeiros:
Multiplicando tudo por :
Daí e substituindo na segunda: e .

Resposta

f(t) = -tfrac52,(1+t) + tfrac32,(-1+t) -2,t^2 = -4 - t - 2t^2

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