(a) Verifique que é uma base de .
(b) Verifique que definido por é um operador linear.
(c) Encontre a matriz que representa com relação à base .
(d) Utilize a matriz encontrada no item anterior para achar a solução de em .
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas em , o espaço dos polinômios de grau : em (a) mostrar que é base; em (b) verificar que , dada por
é linear; em (c) encontrar a matriz de na base ; e em (d) usar essa matriz para resolver escrevendo em coordenadas de .
Passo 2
Para ver que é base, mostramos que é L.I. e tem vetores em (dimensão ). Se
então, comparando coeficientes em , e termo constante, vem
Dessas duas últimas segue . Logo só a combinação trivial anula, provando L.I.; como são vetores, formam base.
Passo 3
Mostramos linearidade de . Dados e ,
Logo é operador linear.
Passo 4
Vamos achar a matriz de em . Denotamos , , .
. . Procuramos tais que
Comparando coeficientes: de : ; de : ; constante: . Daí . Logo primeira coluna de é .
. . Fazendo igual a dá , , . Resolve-se , . Segunda coluna é .
. . Igualando a dá , , . Logo . Terceira coluna é .
Portanto,
Passo 5
Queremos tal que . Primeiro expressamos em coordenadas de : buscamos com
Da comparação vem , , . Resolve-se , . Logo o vetor da imagem é .
Agora resolvemos
O sistema é
Da última equação . Substituindo nos dois primeiros: