Calcule a área delimitada pelas seguintes curvas polares:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de área usando coordenadas polares. O que a gente precisa é calcular a área limitada pela curva . Para isso, vamos usar a fórmula da área em coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula que vamos usar. A área em coordenadas polares para uma curva de a é dada por:
Aqui, é a função que define a curva, e e são os limites de integração, que correspondem ao intervalo de que cobre toda a área que queremos calcular.
Passo 3
Agora, precisamos identificar os limites de integração. Para a curva , essa é uma cardioide que completa seu ciclo completo quando varia de a . Então, nossos limites são e .
Passo 4
Substituindo na fórmula da área, temos:
Agora, vamos expandir o quadrado para facilitar a integração:
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos integrar termo a termo. Sabemos que:
E para sin^2 theta = 1 - cos 2theta2 , usamos a identidade trigonométrica: