Calcule a área delimitada pelas seguintes curvas polares:
r=1+sin theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de área usando coordenadas polares. O que a gente precisa é calcular a área limitada pela curva . Para isso, vamos usar a fórmula da área em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula que vamos usar. A área A = 12 integrala^b r^2 , dtheta em coordenadas polares para uma curva de a é dada por:
Aqui, é a função que define a curva, e e são os limites de integração, que correspondem ao intervalo de que cobre toda a área que queremos calcular.

Passo 3

Agora, precisamos identificar os limites de integração. Para a curva , essa é uma cardioide que completa seu ciclo completo quando varia de a . Então, nossos limites são e .

Passo 4

Substituindo na fórmula da área, temos:
A = 12 integral0^2pi (1 + sin theta)^2 , dtheta
Agora, vamos expandir o quadrado para facilitar a integração:
(1 + sin theta)^2 = 1 + 2sin theta + sin^2 theta
Então, a integral fica:
A = 12 integral0^2pi (1 + 2sin theta + sin^2 theta) dtheta

Passo 5

Vamos integrar termo a termo. Sabemos que:
integral0^2pi 1 , dtheta = 2pi
integral0^2pi 2sin theta , dtheta = -2cos theta g|0^2pi = 0
E para sin^2 theta = 1 - cos 2theta2 , usamos a identidade trigonométrica:
integral0^2pi sin^2 theta , dtheta = integral0^2pi 1 - cos 2theta2 , dtheta = 12 integral0^2pi 1 , dtheta - 12 integral0^2pi cos 2theta , dtheta = 12 cdot 2pi - 0 = pi
Então:

Passo 6

Agora, somando todos os termos integrados:
A = 12 (2pi + 0 + pi) = 12 cdot 3pi = 3pi2

Resposta

A área delimitada pela curva é unidades de área.

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