Sejam
e
funções contínuas em
, tais que
e
. Mostre que a equação
tem solução.
Passo 1
O enunciado diz que temos duas funções contínuas em
, com valores iniciais trocados de sinal:
e
. O que precisamos usar aqui é o Teorema do Valor Intermediário (TVI), que afirma que uma função contínua que muda de sinal em um intervalo atinge todo valor entre esses extremos.
Passo 2
Para aplicar o TVI, é comum trabalhar com a diferença entre as funções. Definimos
. Como soma, subtração e composição preservam continuidade,
também é contínua em
.
Passo 3
Agora vamos ver os sinais de
nas pontas do intervalo. Temos
e
Isso mostra que
e
têm sinais opostos.
Passo 4
Pelo Teorema do Valor Intermediário, se
é contínua em
e
e
têm sinais opostos, então existe algum
tal que
Passo 5
Como
, chega-se à igualdade desejada. Portanto existe ao menos um ponto
em que
.
Resposta
A equação
possui pelo menos uma solução
, garantida pelo Teorema do Valor Intermediário.