Sejam f e g funções contínuas em [a, b], tais que f(a)>g(a) e f(b). Mostre que a equação f(x)=g(x) tem solução.

Passo 1

O enunciado diz que temos duas funções contínuas em [a,b], com valores iniciais trocados de sinal: f(a)>g(a) e f(b). O que precisamos usar aqui é o Teorema do Valor Intermediário (TVI), que afirma que uma função contínua que muda de sinal em um intervalo atinge todo valor entre esses extremos.

Passo 2

Para aplicar o TVI, é comum trabalhar com a diferença entre as funções. Definimos h(x)=f(x)-g(x). Como soma, subtração e composição preservam continuidade, h também é contínua em [a,b].

Passo 3

Agora vamos ver os sinais de h nas pontas do intervalo. Temos
h(a)=f(a)-g(a)>0
e
h(b)=f(b)-g(b)<0
Isso mostra que h(a) e h(b) têm sinais opostos.

Passo 4

Pelo Teorema do Valor Intermediário, se h é contínua em [a,b] e h(a) e h(b) têm sinais opostos, então existe algum cin(a,b) tal que
h(c)=0

Passo 5

Como h(c)=f(c)-g(c)=0, chega-se à igualdade desejada. Portanto existe ao menos um ponto cin(a,b) em que f(c)=g(c).

Resposta

A equação f(x)=g(x) possui pelo menos uma solução cin(a,b), garantida pelo Teorema do Valor Intermediário.

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