Seja
. Determine o valor de
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos descobrir o valor da 27ª derivada de
quando
, ou seja,
. Para resolver isso, vamos usar a série de Taylor, que nos ajuda a expandir funções em potências de
.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir
usando a série de Taylor. Sabemos que:
Aqui, substituímos
por
:
Passo 3
Agora, multiplicamos essa série por
para obter
:
Isso significa que a série de
é uma soma de termos com potências ímpares de
.
Passo 4
Para encontrar a 27ª derivada em 0, precisamos identificar o termo que contém
na série de
. Observando a série:
Queremos que
. Resolvendo para
:
Então, o termo que nos interessa é:
Passo 5
A 27ª derivada de
em 0,
, é dada pelo coeficiente de
multiplicado por
: