Seja f(x)=x^3 ln (1+x^2). Determine o valor de f^(27)(0).

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos descobrir o valor da 27ª derivada de quando , ou seja, . Para resolver isso, vamos usar a série de Taylor, que nos ajuda a expandir funções em potências de .

Passo 2

Primeiro, vamos expandir ln(1 + u) = u - u^22 + u^33 - u^44 + dots usando a série de Taylor. Sabemos que:
ln(1 + x^2) = x^2 - x^42 + x^63 - x^84 + dots
Aqui, substituímos por :

Passo 3

Agora, multiplicamos essa série por f(x) = x^3 ln(1 + x^2) = x^5 - x^72 + x^93 - x^114 + dots para obter :
Isso significa que a série de é uma soma de termos com potências ímpares de .

Passo 4

Para encontrar a 27ª derivada em 0, precisamos identificar o termo que contém f(x) = x^5 - x^72 + x^93 - dots + (-1)^k+1 x^2k + 3k + dots na série de 2k + 3 = 27 implies 2k = 24 implies k = 12 . Observando a série:
(-1)^12+1 x^2712 = -x^2712
Queremos que . Resolvendo para :
Então, o termo que nos interessa é:

Passo 5

A 27ª derivada de f^(27)(0) = -27!12 em 0, , é dada pelo coeficiente de multiplicado por :

Resposta

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