Calcule o comprimento das seguintes curvas polares:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o comprimento da curva polar definida por
, onde
varia de
a
. Isso está dentro do estudo de Geometria Analítica Polar. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de arco para curvas em coordenadas polares e um pouco de cálculo, especificamente derivadas e integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para o comprimento de uma curva em coordenadas polares. A fórmula é:
Aqui,
é a função que descreve a curva em termos de
, e
e
são os limites do intervalo de
.
Passo 3
Agora, precisamos achar a derivada de
em relação a
. Nossa função é
. A derivada de
em relação a
é:
Aqui, usamos a regra da derivada de exponenciais onde a base é constante.
Passo 4
Vamos substituir
e
na fórmula do comprimento:
Simplificando dentro da raiz:
Passo 5
Agora, podemos fatorar a constante
fora da integral:
A integral de
em relação a
é:
Aplicando os limites de integração:
Resposta
O comprimento da curva
no intervalo
é: