Calcule o comprimento das seguintes curvas polares:
r=2^theta, theta in[0,2 pi].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o comprimento da curva polar definida por , onde varia de a . Isso está dentro do estudo de Geometria Analítica Polar. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de arco para curvas em coordenadas polares e um pouco de cálculo, especificamente derivadas e integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para o comprimento de uma curva em coordenadas polares. A fórmula é:
L = integraltheta1^theta2 raiz ( drdtheta )^2 + r^2 , dtheta
Aqui, é a função que descreve a curva em termos de , e e são os limites do intervalo de .

Passo 3

Agora, precisamos achar a derivada de drdtheta = 2^theta ln 2 em relação a . Nossa função é . A derivada de em relação a é:
Aqui, usamos a regra da derivada de exponenciais onde a base é constante.

Passo 4

Vamos substituir L = integral0^2pi raiz ( 2^theta ln 2 )^2 + ( 2^theta )^2 , dtheta e L = integral0^2pi raiz 2^2theta (ln^2 2 + 1) , dtheta = integral0^2pi 2^theta raiz ln^2 2 + 1 , dtheta na fórmula do comprimento:
Simplificando dentro da raiz:

Passo 5

Agora, podemos fatorar a constante L = raiz ln^2 2 + 1 integral0^2pi 2^theta , dtheta fora da integral:
integral 2^theta , dtheta = 2^thetaln 2 + C
A integral de L = raiz ln^2 2 + 1 ( 2^2pi - 2^0ln 2 ) = raiz1 + ln^2 2 cdot 2^2pi - 1ln 2 em relação a é:
Aplicando os limites de integração:

Resposta

O comprimento da curva L = raiz1 + ln^2 2 cdot (2^2pi - 1) ln 2 no intervalo é:

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