Calcule a área delimitada pelas seguintes curvas polares:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a área delimitada pela curva polar . Isso está no campo do cálculo em coordenadas polares. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula da área em coordenadas polares e identificar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área de uma curva em coordenadas polares. A fórmula é:
Aqui, , e precisamos encontrar os valores de onde a curva completa um ciclo completo.
Passo 3
Vamos ver como a função se comporta. O fator 2 no argumento de indica que a curva vai completar um ciclo completo quando varia de a , ou seja, varia de a . Portanto, nossos limites de integração serão de a .
Passo 4
Agora, vamos substituir na fórmula da área:
Precisamos simplificar para facilitar a integração. Usamos a identidade trigonométrica: