Calcule a área delimitada pelas seguintes curvas polares:
r=cos (2 theta)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a área delimitada pela curva polar . Isso está no campo do cálculo em coordenadas polares. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula da área em coordenadas polares e identificar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área de uma curva em coordenadas polares. A fórmula é:
A = 12 integralalpha^beta r^2 , dtheta
Aqui, , e precisamos encontrar os valores de onde a curva completa um ciclo completo.

Passo 3

Vamos ver como a função se comporta. O fator 2 no argumento de indica que a curva vai completar um ciclo completo quando varia de a , ou seja, varia de a . Portanto, nossos limites de integração serão de a .

Passo 4

Agora, vamos substituir A = 12 integral0^pi (cos(2theta))^2 , dtheta na fórmula da área:
cos^2(x) = 1 + cos(2x)2
Precisamos simplificar (cos(2theta))^2 = 1 + cos(4theta)2 para facilitar a integração. Usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando isso, temos:

Passo 5

Substituindo na integral:
A = 12 integral0^pi 1 + cos(4theta)2 , dtheta = 14 integral0^pi (1 + cos(4theta)) , dtheta
Agora, vamos integrar termo a termo.

Passo 6

Integramos:
integral0^pi 1 , dtheta = pi
integral0^pi cos(4theta) , dtheta = sin(4theta)4 |0^pi = sin(4pi) - sin(0)4 = 0
Então, a integral fica:
14 (pi + 0) = pi4

Resposta

A área delimitada pela curva é .

Exercícios relacionados