Encontre a solução do PVI:
cy^prime prime+y=sec t y(0)=0, y^prime(0)=10

Passo 1

Resumo do enunciado: temos o PVI y''+y=sec t com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=10. O conteúdo é EDO linear de segunda ordem não-homogênea; vamos precisar da solução geral homogênea e de um particular.

Passo 2

Solução da parte homogênea: resolvendo a equação característica r^2+1=0 obtemos r=pm i. Logo a solução homogênea é
yh(t)=Acos t+Bsin t

Passo 3

Escolha das soluções fundamentais para variação de parâmetros: y1=cos t e y2=sin t. Calculamos o Wronskiano:
W(t)=y1y2'-y2y1'=cos tcdotcos t-sin t(-sin t)=1

Passo 4

Fórmula de variação de parâmetros: dado y''+y=f(t), a solução particular é
yp=-y1(t)integraly2(t)f(t)W(t),dt+ y2(t)integraly1(t)f(t)W(t),dt

Passo 5

Aplicando f(t)=sec t:
  • integral y2(t)f(t),dt=integralsin tsec t,dt=integraltan t,dt=-ln|cos t|+C1.
  • integral y1(t)f(t),dt=integralcos tsec t,dt=integral1,dt=t+C2.
    Constantes em indefinidos entram na homogênea, então descartamos.

Passo 6

Montando yp:
yp= -cos tl(-ln|cos t|r)+sin t,(t)=cos tln|cos t|+tsin t

Passo 7

Solução geral:
y(t)=Acos t+Bsin t+cos tln|cos t|+tsin t

Passo 8

Aplicando y(0)=0:
y(0)=A+0+1cdotln1+0= A=0

Passo 9

Para achar B, calculamos y'(t):
y'(t)= -Asin t+Bcos t -sin tln|cos t| +tcos t
Como A=0, fica y'(t)=Bcos t -sin tln|cos t|+tcos t.

Passo 10

Usando y'(0)=10:
y'(0)=Bcdot1 +0+0= B=10

Resposta

y(t)=10sin t+cos tln|cos t|+tsin t.

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