Encontre a solução do PVI:
cy^prime prime-y=2 t y(0)=0, y^prime(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI y''-y=2t com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=1. Isso é uma EDO linear de 2ª ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo, então vamos usar a forma geral y=yh+yp.

Passo 2

Para encontrar a solução homogênea, montamos a equação característica associada:
r^2-1=0
As raízes são r=1 e r=-1, logo
yh=C1e^t+C2e^-t

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular. Como o termo forçante é um polinômio de grau 1 em t, supomos
yp=At+B
Então
yp'=A, yp''=0

Passo 4

Substituindo em y''-y=2t temos
0-(At+B)=2t
Comparando coeficientes:
-A=2implies A=-2, -B=0implies B=0
Logo
yp=-2t

Passo 5

A solução geral fica
y=C1e^t+C2e^-t-2t

Passo 6

Aplicamos y(0)=0:
C1+C2-0=0implies C2=-C1

Passo 7

Agora derivamos e aplicamos y'(0)=1:
y'=C1e^t-C2e^-t-2
Em t=0:
y'(0)=C1-C2-2=1
Substituindo C2=-C1:
C1-(-C1)-2=1implies 2C1=3implies C1=tfrac32, C2=-tfrac32

Passo 8

Por fim,
y=tfrac32e^t-tfrac32e^-t-2t=3sinh(t)-2t

Resposta

y(t)=3sinh(t)-2t

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