Exercício 41 (2 pontos). Determine a seguinte integral imprópria, fornecendo justificativas para cada etapa do cálculo:
integral-infty^infty 1x^2+4 x+9 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
integral-infty^infty 1x^2+4x+9,dx
O tema aqui é integrais impróprias de função racional. Vamos precisar verificar convergência, completar o quadrado no denominador, usar substituição e aplicar a fórmula integral duu^2+a^2=1aarctanl(uar).

Passo 2

Primeiro, examinamos o comportamento para xtopminfty. Como x^2+4x+9sim x^2, temos
1x^2+4x+9sim1x^2
E integral^infty1/x^2,dx converge. Logo, nossa integral imprópria é convergente.

Passo 3

Agora completamos o quadrado no denominador:
x^2+4x+9=(x+2)^2+9-4=(x+2)^2+5

Passo 4

Fazemos a substituição
u=x+2, du=dx
Então os limites continuam de -infty a +infty e a integral vira
integral-infty^inftydx(x+2)^2+5=integral-infty^inftyduu^2+5

Passo 5

Reconhecemos a forma padrão com a^2=5. Aplicando
integralduu^2+a^2=1aarctanl(uar)
temos
integral-infty^inftyduu^2+5=1raiz5l[arctanl(uraiz5r)r]-infty^infty

Passo 6

Por fim, avaliamos os limites:
arctanl(tfracuraiz5r)|utoinfty=pi2, arctanl(tfracuraiz5r)|uto-infty=-pi2
Logo o valor da integral é
1raiz5l(tfracpi2-(-tfracpi2)r)=piraiz5

Resposta

piraiz5

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