Exercício 41 (2 pontos). Determine a seguinte integral imprópria, fornecendo justificativas para cada etapa do cálculo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
O tema aqui é integrais impróprias de função racional. Vamos precisar verificar convergência, completar o quadrado no denominador, usar substituição e aplicar a fórmula
Passo 2
Primeiro, examinamos o comportamento para
. Como
, temos
E
converge. Logo, nossa integral imprópria é convergente.
Passo 3
Agora completamos o quadrado no denominador:
Passo 4
Fazemos a substituição
Então os limites continuam de
a
e a integral vira
Passo 5
Reconhecemos a forma padrão com
. Aplicando
temos
Passo 6
Por fim, avaliamos os limites:
Logo o valor da integral é