Calcule a área exata da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x.
x=(y^2+2)^32 ; 1 <= y <= 2

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a gente precisa fazer aqui. A questão pede para calcular a área da superfície que surge quando a curva $ x = \left(y^{2} + 2\right)^{\frac{3}{2}} $, onde $ y $ varia de 1 a 2, é girada em torno do eixo $ x $. O conteúdo envolvido é o cálculo de áreas de superfícies de revolução, usando integração. Vamos precisar da fórmula específica para calcular essa área.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área de uma superfície de revolução quando a curva está expressa em função de $ y $. A fórmula é:
y
Aqui, $ x(y) $ é a função que descreve a curva, e $ \frac{dx}{dy} $ é a derivada dessa função em relação a $ y $.

Passo 3

Vamos identificar os componentes da nossa função:
x(y) = (y^2 + 2)^32
E os limites de integração são de $ y = 1 $ até $ y = 2 $.

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada $ \frac{dx}{dy} $. Usando a regra do poder e a regra da cadeia:
dxdy

Passo 5

Em seguida, vamos calcular $ 1 + \left(\frac{dx}{dy}\right)^{2} $:
1 + (dxdy)^2
Simplificando:
1 + (3y (y^2 + 2)^12)^2 = 1 + 9y^2 (y^2 + 2)

Passo 6

Agora, substituímos tudo na fórmula da área:
A = 2pi integral1^2 (y^2 + 2)^32 raiz9y^4 + 18y^2 + 1 , dy

Passo 7

Observando a expressão dentro da raiz, percebemos que:
9y^4 + 18y^2 + 1 = (3y^2 + 1)^2
Portanto:
raiz9y^4 + 18y^2 + 1 = 3y^2 + 1

Passo 8

Substituindo de volta na integral, temos:
A = 2pi integral1^2 (y^2 + 2)^32 (3y^2 + 1) , dy

Passo 9

Vamos expandir a expressão dentro da integral:
(y^2 + 2)^32 (3y^2 + 1) = 3y^2 (y^2 + 2)^32 + (y^2 + 2)^32
Mas para facilitar a integração, vamos fazer uma substituição. Seja:
u = y^2 + 2 Rightarrow dudy = 2y Rightarrow dy = du2y
No entanto, essa substituição não simplifica diretamente nossa integral. Para resolver de forma mais eficiente, reconhecemos que a integral se torna uma derivada perfeita:
ddy ( (y^2 + 2)^52 ) = 52 cdot 2y cdot (y^2 + 2)^32 = 5y (y^2 + 2)^32
Mas estamos com $ 3y^{2} + 1 $ multiplicando $ \left(y^{2} + 2\right)^{\frac{3}{2}} $. Para ajustar, vamos manipular a expressão:
3y^2 + 1
Substituindo na integral:
(y^2 + 2)^32

Passo 10

Agora, integraremos termo a termo:
A = 2pi [ 352 (y^2 + 2)^52 - 552 (y^2 + 2)^52 ]1^2
Simplificando os coeficientes:
A = 2pi [ 65 (y^2 + 2)^52 - 2 (y^2 + 2)^52 ]1^2 = 2pi [ (65 - 2) (y^2 + 2)^52 ]1^2
A = 2pi [ -45 (y^2 + 2)^52 ]1^2 = -8pi5 [ (2^2 + 2)^52 - (1^2 + 2)^52 ]

Passo 11

Calculando os termos dentro dos parênteses:
2^2 + 2 = 4 + 2 = 6 Rightarrow 6^52 = 6^2 cdot raiz6 = 36raiz6
1^2 + 2 = 1 + 2 = 3 Rightarrow 3^52 = 3^2 cdot raiz3 = 9raiz3
Substituindo de volta:
A = -8pi5 (36raiz6 - 9raiz3) = 8pi5 (9raiz3 - 36raiz6) = 72pi5 (raiz3 - 4raiz6)

Resposta

A área exata da superfície é:
A = 72pi5 (raiz3 - 4raiz6)

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