Calcule a área exata da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a gente precisa fazer aqui. A questão pede para calcular a área da superfície que surge quando a curva $ x = \left(y^{2} + 2\right)^{\frac{3}{2}} $, onde $ y $ varia de 1 a 2, é girada em torno do eixo $ x $. O conteúdo envolvido é o cálculo de áreas de superfícies de revolução, usando integração. Vamos precisar da fórmula específica para calcular essa área.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área de uma superfície de revolução quando a curva está expressa em função de $ y $. A fórmula é:
Aqui, $ x(y) $ é a função que descreve a curva, e $ \frac{dx}{dy} $ é a derivada dessa função em relação a $ y $.
Passo 3
Vamos identificar os componentes da nossa função:
E os limites de integração são de $ y = 1 $ até $ y = 2 $.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada $ \frac{dx}{dy} $. Usando a regra do poder e a regra da cadeia:
Passo 5
Em seguida, vamos calcular $ 1 + \left(\frac{dx}{dy}\right)^{2} $:
Simplificando:
Passo 6
Agora, substituímos tudo na fórmula da área:
Passo 7
Observando a expressão dentro da raiz, percebemos que:
Portanto:
Passo 8
Substituindo de volta na integral, temos:
Passo 9
Vamos expandir a expressão dentro da integral:
Mas para facilitar a integração, vamos fazer uma substituição. Seja:
No entanto, essa substituição não simplifica diretamente nossa integral. Para resolver de forma mais eficiente, reconhecemos que a integral se torna uma derivada perfeita:
Mas estamos com $ 3y^{2} + 1 $ multiplicando $ \left(y^{2} + 2\right)^{\frac{3}{2}} $. Para ajustar, vamos manipular a expressão:
Substituindo na integral:
Passo 10
Agora, integraremos termo a termo:
Simplificando os coeficientes:
Passo 11
Calculando os termos dentro dos parênteses:
Substituindo de volta:
Resposta
A área exata da superfície é: