Dada f(x, y)=ln (x^2+y^2), qual das expressões abaixo corresponde a fx+fy ?
a) 7x+y
b) 5x+y
c) 2x-y
d) 0
e) 1x+y
f) 13x-y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função e precisamos descobrir qual das opções corresponde à soma das derivadas parciais dessa função em relação a e , ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas parciais e como calculá-las.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada parcial de uma função em relação a uma das variáveis é como se a gente derivasse normalmente, mas tratando a outra variável como uma constante. Então, vamos calcular e separadamente.

Passo 3

Vamos calcular f(x, y) = ln(x^2 + y^2) , a derivada parcial de fx = 1x^2 + y^2 cdot ddx(x^2 + y^2) em relação a fx = 2xx^2 + y^2 :
A derivada de em relação a é , então aplicando a regra da cadeia:
Como é tratado como constante, . Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular f(x, y) = ln(x^2 + y^2) , a derivada parcial de fy = 1x^2 + y^2 cdot ddy(x^2 + y^2) em relação a fy = 2yx^2 + y^2 :
Usando a mesma regra da cadeia:
Aqui, é constante, então . Assim:

Passo 5

Agora que temos fx + fy = 2xx^2 + y^2 + 2yx^2 + y^2 e fx + fy = 2x + 2yx^2 + y^2 = 2(x + y)x^2 + y^2 , vamos somá-las:
Como os denominadores são iguais, podemos somar os numeradores:

Passo 6

Agora, vamos comparar nossa expressão com as opções fornecidas:
a)
b)
c)
d) 0
e)
f)
Nossa expressão é , que não corresponde diretamente a nenhuma das opções. Entretanto, se considerarmos que , não encontramos uma correspondência direta. Parece que houve um erro nas opções fornecidas ou na interpretação da questão.

Resposta

Nenhuma das opções apresentadas corresponde a . A expressão correta é .

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