Calcule a área exata da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x.
y=x^3, 0 <= x <= 2

Passo 1

A gente quer a área da superfície gerada pela rotação da curva y=x^3, para 0<= x<=2, em torno do eixo x. O conteúdo é área de superfície de revolução e vamos usar a fórmula
S=2piintegrala^b yraiz1+l(y'r)^2,dx
.

Passo 2

Primeiro, calculo a derivada de y:
y=x^3Longrightarrow y'=3x^2
Então o integrando fica yraiz1+(y')^2=x^3raiz1+9x^4.

Passo 3

Agora monto a integral de superfície:
S=2piintegral0^2x^3raiz1+9x^4,dx
Para resolver, faço a substituição
u=1+9x^4,Rightarrow,du=36x^3,dx
Quando x=0, u=1; quando x=2, u=1+9cdot2^4=145.

Passo 4

Com a substituição, a integral vira:
S=2piintegralu=1^145raizu,du36 = 2pi36integral1^145u^1/2,du
Integro:
integral u^1/2,du=23u^3/2
Então
S=2pi36cdot23l[u^3/2r]1^145 = pi27l(145^3/2-1r)

Passo 5

Lembrando que 145^3/2=145raiz145, a resposta exata fica

Passo 6

Resposta

S=pi27l(145raiz145-1r)

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