Utilize coordenadas polares para determinar o limite [Se (r, theta) são as coordenadas polares do ponto (x, y) com r >= 0, observe que r 0^+quando (x, y) (0,0).]
lim (x, y) (0,0) e^-x^2-y^2-1x^2+y^2.

Passo 1

O enunciado pede o limite de uma função de duas variáveis no ponto (0,0) usando coordenadas polares. O conteúdo envolvido é cálculo de limites em várias variáveis e a técnica de mudança para coordenadas polares, onde vamos usar que x=rcostheta, y=rsintheta e r^2=x^2+y^2.

Passo 2

Substituímos x=rcostheta e y=rsintheta na expressão. Assim
x^2+y^2=r^2,
e
e^-x^2-y^2-1=e^-r^2-1=e^-1,e^-r^2

Passo 3

Logo a função vira
e^-x^2-y^2-1x^2+y^2=e^-1,e^-r^2r^2

Passo 4

Para rto0^+, temos e^-r^2to1, então o quociente comporta-se como e^-1/r^2, que cresce sem limite.
Como o valor tende a +infty independentemente de theta, concluímos que o limite é infinito.

Resposta

+infty

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