Determine a ordem dos polos da função dada.
f(z)=11+e^z

Passo 1

Estamos analisando a função f(z)=11+e^z, cujo objetivo é identificar onde ela tem polos e determinar a ordem desses polos. Vamos precisar resolver 1+e^z=0 e verificar a multiplicidade dessa raiz no denominador.

Passo 2

Para encontrar os pontos em que f(z) é singular, igualamos o denominador a zero:
1 + e^z = 0
Isso dá e^z = -1. Em números complexos, -1 pode ser escrito como e^i(pi + 2pi k), onde kinZ. Logo,
z = ln(1) + i(pi + 2pi k) = i(pi + 2pi k), kinZ

Passo 3

Precisamos agora determinar a ordem de cada polo. Um polo de f ocorre quando o denominador tem um zero de certa multiplicidade. Definindo g(z)=1+e^z, temos g'(z)=e^z. Avaliando em zk = i(pi + 2pi k),
g'(zk)=e^i(pi + 2pi k)=-1neq 0

Passo 4

Como a derivada de g no ponto onde g(zk)=0 é não-nula, a raiz é simples. Isso significa que cada polo de f(z) é de ordem 1.

Resposta

Os polos ocorrem em z=i(pi+2pi k), kinZ, e são todos simples (ordem 1).

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