Calcule a área exata da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x.
y=raiz1+4 x, 1 <= x <= 5

Passo 1

O enunciado pede a área exata da superfície obtida ao rotacionar a curva em torno do eixo x. O conteúdo é área de superfície de revolução, em que usamos a fórmula
S=integrala^b2pi,yraiz1+(y')^2,dx
Aqui temos y=raiz1+4x e x vai de 1 a 5.

Passo 2

Primeiro, calculo y'. Como y=(1+4x)^1/2,
y' = 12(1+4x)^-1/2cdot4 = 2raiz1+4x

Passo 3

Em seguida, monto o termo raiz1+(y')^2:
raiz1+l(y'r)^2 = raiz1 + 41+4x = raiz1+4x+41+4x = raiz5+4x1+4x

Passo 4

Substituindo em 2pi yraiz1+(y')^2, obtenho
2pi,raiz1+4x;raiz5+4x1+4x = 2piraiz5+4x
Então
S = 2piintegral1^5raiz5+4x,dx

Passo 5

Faço a substituição u=5+4x, logo du=4,dx e dx=du/4.
Quando x=1, u=9; quando x=5, u=25.
Assim
S = 2piintegral9^25raizudu4 = pi2integral9^25u^1/2du

Passo 6

Integral de u^1/2 é tfrac23u^3/2. Então
S = pi2cdot23l[u^3/2r]9^25 = pi3l(25^3/2-9^3/2r) = pi3(125-27) = 98pi3

Resposta

tfrac98pi3

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