Seja f: A [0,1]. Determine o domínio A, quando f é dada por:
f(x)=1-x3-x

Passo 1

Nesse exercício, temos a função f: A → [0,1] definida por f(x)= 1-x3-x. O que precisamos é encontrar o conjunto A⊆ℝ (tirando pontos onde a função não está definida) tal que f(x) sempre assuma valores em [0,1]. O conteúdo envolve domínio de função racional e resolução de inequações.

Passo 2

Primeiro, excluímos x=3 do domínio porque em x=3 o denominador fica zero e a função não está definida.

Passo 3

Para garantir f(x)≥0, resolvemos 1-x3-x≥0. Fazendo análise de sinais, obtemos x≤1 ou x>3.

Passo 4

Para garantir f(x)≤1, resolvemos 1-x3-x≤1. Subtraindo 1 e simplificando, chega-se em -2/(3-x)≤0, o que impõe x<3.

Passo 5

Agora intersectamos as condições: (x≤1 ou x>3) e x<3. O ramo x>3 cai ao exigir x<3, restando x≤1. Também já excluímos x=3. Portanto, o domínio buscado é x∈(-∞,1].

Resposta

A=(-infty,1]

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